《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

8. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = CB $，$ \angle ABC = 90° $，$ F $ 为 $ AB $ 的延长线上一点，点 $ E $ 在 $ BC $ 上，且 $ AE = CF $.
(1) 求证：$ \triangle ABE \cong \triangle CBF $；
(2) 若 $ \angle CAE = 30° $，求 $ \angle ACF $ 的度数.

答案： 8.
(1)证明：$\because \angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = \angle CBF = 90^{\circ}$。在Rt△ABE和Rt△CBF中，$\begin{cases} AB = CB,\\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore Rt \bigtriangleup ABE \cong Rt \bigtriangleup CBF(HL)$。
(2)解：$\because AB = CB$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BCA = \angle BAC = 45^{\circ}$。又$\angle CAE = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BAE = \angle BAC - \angle CAE = 15^{\circ}$。由
(1)，得$\angle FCB = \angle BAE = 15^{\circ}$，$\therefore \angle ACF = \angle FCB + \angle BCA = 60^{\circ}$。

9. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 在边 $ BC $ 上，$ DE \perp AB $ 于点 $ E $，$ DF \perp BC $ 交 $ AC $ 于点 $ F $，$ BD = CF $，$ BE = CD $. 求证：
(1) $ \triangle DCF \cong \triangle EBD $；
(2) $ \angle EDF = 90° - \frac{1}{2} \angle A $.

答案： 9.证明：
(1)$\because DE \perp AB$，$DF \perp BC$，$\therefore \angle CDF = \angle BED = 90^{\circ}$。在Rt△DCF和Rt△EBD中，$\begin{cases} CF = BD,\\ CD = BE, \end{cases}$
$\therefore Rt \bigtriangleup DCF \cong Rt \bigtriangleup EBD(HL)$。
(2)$\because DE \perp AB$，$DF \perp BC$，$\therefore \angle B + \angle BDE = \angle EDF + \angle BDE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle B = \angle EDF$。由
(1)，得Rt△DCF≌Rt△EBD，$\therefore \angle B = \angle C$，$\therefore \angle EDF = \angle B = \frac{180^{\circ} - \angle A}{2} = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle A$。

10. 分类讨论 如图，在平面直角坐标系中，$ A(2, 0) $，$ B(0, 4) $，作一个 $ \triangle BOC $，使 $ \triangle BOC $ 与 $ \triangle ABO $ 全等(点 $ C $ 与点 $ A $ 不重合)，则点 $ C $ 的坐标为$(-2,0)$或$(2,4)$或$(-2,4)$.

答案： 10.$(-2,0)$或$(2,4)$或$(-2,4)$

11. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = BC $，$ \angle ABC = \angle ADC = 90° $，$ BE \perp AD $ 于点 $ E $，且四边形 $ ABCD $ 的面积为 16，则 $ BE = $4.

答案： 11.4

12. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BCA = 90° $，$ AC = BC $，$ AD $ 平分 $ \angle BAC $，$ BE \perp AD $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $. 求证：$ AD = 2BE $.

答案：
12.证明：如图，延长AC，BE相交于点F。
$\because \angle BCA = 90^{\circ}$，$BE \perp AD$，$\therefore \angle CAD + \angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle DBE + \angle BDE = 90^{\circ}$。又$\angle ADC = \angle BDE$，$\therefore \angle CAD = \angle DBE$。在$\begin{cases} \angle ACD = \angle BCF = 90^{\circ},\\ AC = BC,\\ \angle CAD = \angle CBF, \end{cases}$
$\therefore \triangle CAD \cong \triangle CBF(ASA)$，$\therefore AD = BF$。$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle FAE = \angle BAE$。在$\triangle FAE$和$\triangle BAE$中，$\begin{cases} \angle FAE = \angle BAE,\\ AE = AE,\\ \angle AEF = \angle AEB = 90^{\circ}, \end{cases}$
$\therefore \triangle FAE \cong \triangle BAE(ASA)$，$\therefore FE = BE$，$\therefore AD = BF = BE + FE = 2BE$。