《2025年华东师大版一课一练七年级数学上册沪教版五四制》

11 观察下列分式方程的求解过程,回答所提出的问题。
解分式方程: $\frac {3}{x-2}-\frac {2}{x+2}= \frac {8}{x^{2}-4}$。
解:去分母,得 $3(x+2)-2(x-2)= 8$。 …………………………………………… 步骤 1
去括号,得 $3x+6-2x+4= 8$。 …………………………………………… 步骤 2
移项,得 $x= 8-10$。 …………………………………………… 步骤 3
解得 $x= -2$。 …………………………………………… 步骤 4
所以原分式方程的解为 $x= -2$。 …………………………………………… 步骤 5
(1) 上述过程中,步骤____是错误的,错误的原因是____;
(2) 订正错误,写出正确答案。

答案： 【解析】：
(1)观察上述求解过程，可以发现步骤5是错误的。因为$x=-2$是原方程的增根，即代入原方程后会使分母为0，所以不能作为原方程的解。错误的原因是在求解过程中没有对解进行检验，导致接受了不符合原方程定义的解。
(2)为了订正错误，我们需要重新解这个分式方程，并对解进行检验。
首先，我们按照原步骤进行到步骤3，得到$x=-2$。然后，我们需要检验这个解。将$x=-2$代入原方程的分母，得到$x+2=0$和$x^2-4=0$，这说明$x=-2$是原方程的增根，因此应被舍去。
所以，原方程无解。
【答案】：
(1)步骤5是错误的,错误的原因是：没有检验$x=-2$是否为原方程的增根；
(2)订正后的答案为：
去分母,得 $3(x+2)-2(x-2)= 8$。
去括号,得 $3x+6-2x+4= 8$。
移项,得 $x= 8-10$。
解得 $x= -2$。
检验：当$x=-2$时，$x+2=0$且$x^2-4=0$，所以$x=-2$是原方程的增根，需要舍去。
所以原分式方程无解。

12 解方程: $\frac {2}{2x-5}-\frac {1}{x-5}= \frac {2}{2x-1}-\frac {1}{x-3}$。

答案： 解：方程两边分别通分，得
$\frac{2(x-5)-(2x-5)}{(2x-5)(x-5)} = \frac{2(x-3)-(2x-1)}{(2x-1)(x-3)}$
化简分子：
左边分子：$2x - 10 - 2x + 5 = -5$
右边分子：$2x - 6 - 2x + 1 = -5$
则方程化为：
$\frac{-5}{(2x-5)(x-5)} = \frac{-5}{(2x-1)(x-3)}$
两边同时除以$-5$，得
$\frac{1}{(2x-5)(x-5)} = \frac{1}{(2x-1)(x-3)}$
交叉相乘，得
$(2x-1)(x-3) = (2x-5)(x-5)$
展开两边：
左边：$2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$
右边：$2x^2 - 10x - 5x + 25 = 2x^2 - 15x + 25$
移项、合并同类项：
$2x^2 - 7x + 3 - 2x^2 + 15x - 25 = 0$
$8x - 22 = 0$
解得：
$8x = 22 \implies x = \frac{11}{4}$
检验：当$x = \frac{11}{4}$时，分母$2x-5 = \frac{22}{4} - 5 = \frac{1}{2} \neq 0$，$x-5 = \frac{11}{4} - 5 = -\frac{9}{4} \neq 0$，$2x-1 = \frac{22}{4} - 1 = \frac{9}{2} \neq 0$，$x-3 = \frac{11}{4} - 3 = -\frac{1}{4} \neq 0$，所以$x = \frac{11}{4}$是原方程的解。
$\therefore$原方程的解为$x = \frac{11}{4}$。

13 某县要修筑一条长为 6000 米的乡村旅游公路,准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成,已知甲队每天筑路的长度是乙队的 2 倍,前期两队各完成了 400 米时,甲比乙少用了 5 天。
(1) 求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米;
(2) 如果甲队每天的工程费用为 1.5 万元,乙队每天的工程费用为 0.9 万元,要使完成全部工程的总费用等于 120 万元,那么要安排甲队筑路多少天?

答案： 【解析】：
(1) 设乙工程队每天筑路$x$米，则甲工程队每天筑路$2x$米。
根据题意，当两队都完成了400米时，甲队比乙队少用了5天，可以列出方程：
$\frac{400}{x} - \frac{400}{2x} = 5$
解这个方程，可以得到：
$400×2 - 400 = 10x$
$400 = 10x$
$x = 40$
经过检验，$x = 40$是原方程的解，并且符合题意。
所以，乙工程队每天筑路40米，甲工程队每天筑路$2 × 40 = 80$米。
(2) 设安排甲队筑路$a$天，那么甲队筑路的总长度为$80a$米。
乙队需要筑的路长为$6000 - 80a$米，所以乙队筑路的天数为$\frac{6000 - 80a}{40}$天。
根据题意，总费用为120万元，可以列出方程：
$1.5a + 0.9 × \frac{6000 - 80a}{40} = 120$
解这个方程，可以得到：
$1.5a × 40 + 0.9 × (6000 - 80a) = 120 × 40$
$60a + 5400 - 72a = 4800$
$-12a = -600$
$a = 50$
所以，需要安排甲队筑路50天。
【答案】：
(1) 甲工程队每天筑路80米，乙工程队每天筑路40米。
(2) 需要安排甲队筑路50天。

14 已知关于 $x$ 的方程 $\frac {3}{x}+\frac {a}{x-1}= \frac {bx+b}{x^{2}-x}$。
(1) 当 $a= 6,b= 1$ 时,求分式方程的解;
(2) 已知 $a= 6,b$ 为何值时,分式方程无解?

答案： 【解析】：
本题主要考察分式方程的求解以及方程无解的条件。
(1) 当 $a = 6, b = 1$ 时，原方程变为 $\frac{3}{x} + \frac{6}{x-1} = \frac{x+1}{x^2-x}$。
首先，将方程两边同时乘以 $x(x-1)$，得到：
$3(x-1) + 6x = x+1$
展开并整理，得到：
$3x - 3 + 6x = x + 1$
$9x - 3 = x + 1$
$8x = 4$
$x = \frac{1}{2}$
经检验，$x = \frac{1}{2}$ 是原方程的解。
(2) 当 $a = 6$ 时，原方程变为 $\frac{3}{x} + \frac{6}{x-1} = \frac{bx+b}{x^2-x}$。
首先，将方程两边同时乘以 $x(x-1)$，得到：
$3(x-1) + 6x = bx + b$
展开并整理，得到：
$3x - 3 + 6x = bx + b$
$(9-b)x = b+3$
此时，我们考虑方程无解的情况：
当 $9-b = 0$，即 $b = 9$ 时，方程左侧为0，右侧为常数，方程无解。
当 $x = 0$ 或 $x = 1$ 时，原方程的分母为0，方程也无解。
将 $x = 0$ 代入 $(9-b)x = b+3$，得到 $b = -3$，但 $x = 0$ 是原方程的增根，所以 $b = -3$ 时方程无解。
将 $x = 1$ 代入 $(9-b)x = b+3$，得到 $9-b = b+3$，解得 $b = 3$，此时 $x = 1$ 是原方程的增根，所以 $b = 3$ 时方程无解。
综上，当 $b = 9$ 或 $b = -3$ 或 $b = 3$ 时，原方程无解。
【答案】：
(1) $x = \frac{1}{2}$
(2) $b = 9$ 或 $b = -3$ 或 $b = 3$