《2025年华东师大版一课一练七年级数学上册沪教版五四制》

9 计算:$\frac{1}{x-2}$+$\frac{1}{x^2-5x+6}$= ______。

答案： 【解析】：
题目考查了分式的加减运算，需要先对第二个分式的分母进行因式分解，然后找公分母，再进行相加。
首先，我们观察第二个分式的分母$x^2 - 5x + 6$，这是一个二次多项式，可以分解为$(x-2)(x-3)$。
然后，我们找两个分式的公分母，即$(x-2)(x-3)$。
接着，我们将两个分式转换为相同的分母，即：
$\frac{1}{x-2} = \frac{x-3}{(x-2)(x-3)}$
$\frac{1}{x^2-5x+6} = \frac{1}{(x-2)(x-3)}$
将两个分式相加，得到：
$\frac{x-3+1}{(x-2)(x-3)} = \frac{x-2}{(x-2)(x-3)}$
最后，我们对分子分母进行约分，由于分子分母都含有$x-2$，可以约去，得到：
$\frac{1}{x-3}$
【答案】：
$\frac{1}{x - 3}$

10已知a= 2b,那么$\frac{a^2-b^2}{ab}$的值为______。

答案： 【解析】：
本题主要考察代数式的化简与求值。
首先，我们将给定的表达式$\frac{a^2 - b^2}{ab}$进行因式分解，得到$\frac{(a+b)(a-b)}{ab}$。
然后，根据题目给出的条件$a = 2b$，我们可以将$a$替换为$2b$，得到$\frac{(2b+b)(2b-b)}{2b \cdot b}$。
进一步化简，得到$\frac{3b \cdot b}{2b^2}$。
最后，我们将分子和分母同时除以$b^2$，得到最终结果$\frac{3}{2}$，也可以写成小数形式$1.5$，但在数学题目中，一般保留分数形式。
【答案】：
$\frac{3}{2}$

11已知$\frac{x}{y}$= 2,那么$\frac{2x^2-3xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$的值为______。

答案： 解：因为$\frac{x}{y}=2$，所以$x = 2y$。
将$x = 2y$代入原式，得：
$\begin{aligned}&\frac{2(2y)^2 - 3(2y)y + 2y^2}{(2y)^2 + 2(2y)y + y^2}\\=&\frac{2×4y^2 - 6y^2 + 2y^2}{4y^2 + 4y^2 + y^2}\\=&\frac{8y^2 - 6y^2 + 2y^2}{9y^2}\\=&\frac{4y^2}{9y^2}\\=&\frac{4}{9}\end{aligned}$
$\frac{4}{9}$

12利用负指数幂将式子化成没有分母的形式:(−$\frac{3−a−²b3}{2a²b−2}$))=________。

答案： 解：$\begin{aligned}&-\frac{3 - a^{-2}b^{3}}{2a^{2}b^{-2}}\\=&-\frac{3}{2a^{2}b^{-2}} + \frac{a^{-2}b^{3}}{2a^{2}b^{-2}}\\=&-\frac{3b^{2}}{2a^{2}} + \frac{b^{3} \cdot b^{2}}{2a^{2} \cdot a^{2}}\\=&-\frac{3}{2}a^{-2}b^{2} + \frac{1}{2}a^{-4}b^{5}\end{aligned}$
$-\frac{3}{2}a^{-2}b^{2} + \frac{1}{2}a^{-4}b^{5}$

13已知x为整数,且分式$\frac{2x+2}{1-x^2}$的值是正整数,那么x的值是______。

答案： 解：$\frac{2x+2}{1-x^2}=\frac{2(x+1)}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x}$（$x\neq\pm1$）
因为分式的值是正整数，所以$\frac{2}{1-x}$为正整数。
则$1-x$是$2$的正因数，$2$的正因数为$1$，$2$。
当$1-x=1$时，$x=0$；
当$1-x=2$时，$x=-1$（舍去，因为$x\neq-1$）。
综上，$x=0$。
答案：$0$

14已知x^2-4x+1= 0,那么x^2+$\frac{1}{x^2}$的值是______。

答案： 解：因为$x^2 - 4x + 1 = 0$，且$x\neq0$（若$x=0$，代入方程左边得$0 - 0 + 1 = 1\neq0$），方程两边同时除以$x$，得$x - 4 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = 4$。
两边平方，得$(x + \frac{1}{x})^2 = 4^2$，即$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$，化简得$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 16$，所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 2 = 14$。
14

15对于非零常数a、b,规定a@b= $\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$,如果2@(2x-1)= 3,那么x的值是______。

答案： 【解析】：
本题主要考查对新定义运算的理解以及解一元一次方程的能力。
根据题目中的新定义，有$a@b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$，
将$a = 2$，$b = 2x - 1$代入得到方程：
$2@(2x - 1) = \frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{2}$
根据题意，这个方程等于3，即：
$\frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{2} = 3$
为了解这个方程，我们需要消去分母。首先找到通分母，即$2(2x-1)$，然后两边乘以$2(2x-1)$，得到：
$2 - (2x - 1) = 6(2x - 1)$
展开并整理得：
$2 - 2x + 1 = 12x - 6$
进一步整理，得到：
$14x = 9$
解得：
$x = \frac{9}{14} × \frac{1}{1} = \frac{9}{14} × \frac{2}{2} = \frac{18}{28} = \frac{9}{14}（此处\frac{1}{1}，\frac{2}{2}是为了展示化简过程，实际可直接得出x=\frac{9}{14}）$
经检验，$x = \frac{9}{14}$满足原方程。
【答案】：
$x = \frac{9}{14}$

16当m= ______时,关于x的方程$\frac{2}{x-2}$+$\frac{mx}{x^2-4}$= $\frac{3}{x+2}$会产生增根。

答案： 解：方程两边同乘最简公分母$(x + 2)(x - 2)$，得：
$2(x + 2) + mx = 3(x - 2)$
因为方程产生增根，所以最简公分母$(x + 2)(x - 2) = 0$，解得$x = 2$或$x = -2$。
当$x = 2$时，代入整式方程：$2×(2 + 2) + 2m = 3×(2 - 2)$
$8 + 2m = 0$
$2m = -8$
$m = -4$
当$x = -2$时，代入整式方程：$2×(-2 + 2) + (-2)m = 3×(-2 - 2)$
$0 - 2m = -12$
$-2m = -12$
$m = 6$
综上，$m = -4$或$m = 6$。
答案：$-4$或$6$

17已知关于x的方程$\frac{2x+m}{x-1}$= 3的解是正数,那么m的取值范围为______。

答案： 【解析】：
本题主要考查分式方程的求解以及根据题目条件确定参数的取值范围。
首先，我们需要解方程$\frac{2x+m}{x-1}=3$，为了消去分母，我们可以两边同时乘以$x-1$，得到：
$2x+m=3(x-1)$
展开并整理得：
$2x+m=3x-3$
进一步整理，得到：
$-x=-m-3$
从而解得：
$x=m+3$
根据题目条件，方程的解是正数，即：
$m+3＞0$
解得：
$m＞-3$
另外，由于原方程是分式方程，其分母不能为0，即：
$x-1 \neq 0$
代入$x=m+3$，得到：
$m+3-1 \neq 0$
即：
$m \neq -2$
综合以上两个条件，我们得到m的取值范围为：
$m＞-3$ 且 $m \neq -2$
【答案】：
$m＞-3$ 且 $m \neq -2$

18当$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$= 2时,那么代数式$\frac{-2y^2+xy-2x}{3x^2+xy+3y^2}$= ______。

答案： 解：由$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2$，等式两边同乘$xy$（$x\neq0$，$y\neq0$），得$y^2 + x^2 = 2xy$，即$x^2 - 2xy + y^2 = 0$，$(x - y)^2 = 0$，所以$x = y$。
将$x = y$代入代数式$\frac{-2y^2 + xy - 2x}{3x^2 + xy + 3y^2}$，得：
分子：$-2x^2 + x \cdot x - 2x = -2x^2 + x^2 - 2x = -x^2 - 2x$（此处原代数式分子可能存在笔误，若按$-2y^2 + xy - 2x^2$计算，分子为$-2x^2 + x^2 - 2x^2 = -3x^2$，分母为$3x^2 + x^2 + 3x^2 = 7x^2$，结果为$-\frac{3}{7}$）
（注：根据常见题型推测分子应为$-2y^2 + xy - 2x^2$，按此修正后）
分子：$-2x^2 + x^2 - 2x^2 = -3x^2$，分母：$3x^2 + x^2 + 3x^2 = 7x^2$，则原式$= \frac{-3x^2}{7x^2} = -\frac{3}{7}$。
$-\frac{3}{7}$

19-根蜡烛在凸透镜前成一实像,物距u,像距U和凸透镜的焦距f满足关系式:$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{U}$=
$\frac{1}{f}$,如果焦距为6厘米,像距为8厘米,那么物距为______。

答案： 【解析】：
本题主要考查了凸透镜成像公式以及代数方程的求解。
首先，根据题目给出的凸透镜成像公式：
$\frac{1}{u} + \frac{1}{U} = \frac{1}{f}$
其中，u是物距，U是像距，f是焦距。
题目给出了焦距f=6厘米和像距U=8厘米，我们需要求解物距u。
将已知条件代入公式，得到：
$\frac{1}{u} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$
接下来，我们解这个方程来找出物距u。
【答案】：
解：
$\frac{1}{u} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$
移项得：
$\frac{1}{u} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}$
计算右侧得：
$\frac{1}{u} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}$
从而解得：
$u = 24 \text{(厘米)}$
故答案为：24厘米。

20如果分式$\frac{1}{2m-1}$的值为正数,求m的取值范围。
某同学根据分式与除法的关系,及除法运算法则,同号相除得正,得2m-1＞0,求得m＞$\frac{1}{2}$,
根据以上材料,①如果$\frac{m-3}{-5}$＜0,那么m的取值范围为______。
②如果$\frac{m^2+2}{2m+3}$＞0,那么m的取值范围为______。

答案： 【解析】：
①对于$\frac{m-3}{-5}$＜0，
首先，我们可以将不等式两边同时乘以-5（注意，乘以负数会改变不等式的方向）：
$-5 × \frac{m-3}{-5} ＞ 0 × (-5)$
即：
$m-3 ＞ 0$
从上式我们可以得到：
$m ＞ 3$
②对于$\frac{m^2+2}{2m+3}$＞0，
首先，我们知道$m^2+2$总是大于0（因为$m^2$是非负的，且2是正数，所以它们的和总是正的）。
所以，我们只需要考虑分母$2m+3$：
$2m+3 ＞ 0$
从上式我们可以得到：
$m ＞ -\frac{3}{2}$
【答案】：
①$m ＞ 3$
②$m ＞ -\frac{3}{2}$

三、简答题
21计算:(-2$\frac{1}{3}$)^2×(-$\frac{6}{7}$)^22+(-$\frac{2}{3}$)-^2×(-$\frac{1}{3}$)°

答案： 答案略