《2025年华东师大版一课一练七年级数学上册沪教版五四制》

1 下列多项式中,能用完全平方公式进行因式分解的是( )。

A.$ m ^ { 2 } + m n + n ^ { 2 } $
B.$ x ^ { 2 } + 2 x y + \frac { 1 } { 4 } y ^ { 2 } $
C.$ 4 x ^ { 2 } - 4 x y + y ^ { 2 } $
D.$ 4 m ^ { 2 } + m n + n ^ { 2 } $

答案： C

2 $ 4 x ^ { 2 } + 1 $再加上一项,不能成为$ ( a + b ) ^ { 2 } $的形式的是( )。

A.$ 4 x $
B.$ - 4 x $
C.$ 4 x ^ { 4 } $
D.$ 16 x ^ { 4 } $

答案： D

3 小敏同学粗心大意,在因式分解时,把等式$ x ^ { 4 } - □ = ( x ^ { 2 } + 4 ) ( x + 2 ) ( x - \triangle ) $中的两个数字弄污了,那么式子中$ □ $、$ \triangle $对应的一组数字是( )。

A.$ 8 $,$ 1 $
B.$ 16 $,$ 2 $
C.$ 24 $,$ 3 $
D.$ 64 $,$ 8 $

答案： B

4 因式分解：$ x ^ { 2 } + x + \frac { 1 } { 4 } = $____。

答案： $\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$

5 因式分解：$ 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = $____。

答案： $(2x-1)^2$

6 因式分解：$ x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 6 x y + 9 = $____。

答案： $(xy-3)^2$

7 因式分解：$ ( x + y ) ^ { 2 } - 8 ( x + y ) + 16 = $____。

答案： $(x+y-4)^2$

8 因式分解：$ ( x ^ { 2 } + 2 x ) ^ { 2 } + 2 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + 1 = $____。

答案： $(x+1)^4$

9 如果关于$ a $、$ b 的多项式 25 a ^ { 2 } + k a b + 16 b ^ { 2 } $是一个完全平方式,那么$ k $的值是____。

答案： ±40

10 阅读并解决问题：对于二次三项式$ x ^ { 2 } + 2 a x + a ^ { 2 } $,可以用公式法将它分解成$ ( x + a ) ^ { 2 } $的形式,但对于二次三项式$ x ^ { 2 } + 2 a x - 3 a ^ { 2 } $就不能直接运用公式了。此时,我们可以这样来处理：
$\begin{aligned}x ^ { 2 } + 2 a x - 3 a ^ { 2 } & = ( x ^ { 2 } + 2 a x + a ^ { 2 } ) - a ^ { 2 } - 3 a ^ { 2 } \\& = ( x + a ) ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } \\& = ( x + a + 2 a ) ( x + a - 2 a ) \\& = ( x + 3 a ) ( x - a )\end{aligned} $
像这样,先添一个适当的项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法叫做“配方法”。利用配方法因式分解：$ a ^ { 2 } - 8 a + 12 = $____。

答案： 【解析】：
本题要求使用配方法对二次三项式进行因式分解。配方法是一种通过添加和减去相同的项，使二次三项式变为完全平方的形式，从而简化因式分解的过程。
首先，观察原式$a^2 - 8a + 12$，可以发现，如果加上$(\frac{8}{2})^2 = 16$并减去相同的数，就可以得到一个完全平方的形式。
具体计算如下：
$\begin{aligned}a^2 - 8a + 12 &= a^2 - 8a + 16 - 16 + 12 \\&= (a^2 - 8a + 16) - 4 \\&= (a - 4)^2 - 4 \\&= (a - 4 + 2)(a - 4 - 2) \\&= (a - 2)(a - 6)\end{aligned}$
【答案】：
$(a - 2)(a - 6)$

11 因式分解：$ 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x y $。

答案： $(2x-y)^2$

12 因式分解：$ a ^ { 2 } - 2 a ( b + c ) + ( b + c ) ^ { 2 } $。

答案： $(a-b-c)^2$