《2025年华东师大版一课一练七年级数学上册沪教版五四制》

12 如果$x + y = 6$,且$(x + 2)(y + 2) = 23$。
求：(1)$xy$的值；(2)$x^{2} + 6xy + y^{2}$的值。

答案：
(1) 7
(2) 64

13 证明：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数。

答案： 两个连续奇数可表示为2n+1与2n-1,其中n为整数,(2n+1)²-(2n-1)²=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n,所以两个连续奇数的平方差是8的倍数。

14 仔细观察,探索规律：
$(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$
$(a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$
$(a - b)(a^{3} + a^{2}b + ab^{2} + b^{3}) = a^{4} - b^{4}$
…
(1)由此猜想：
①$(a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + … + ab^{n - 2} + b^{n - 1}) = $______；
②$(2 - 1)(2^{2} + 2 + 1) = $______；
③$2^{n - 1} + 2^{n - 2} + … + 2 + 1 = $______；
(2)求$2^{199} + 2^{198}… + 2^{2} + 2 + 1$的个位数字是多少？
(3)求$2^{9} - 2^{8} + 2^{7} - … + 2^{3} - 2^{2} + 2$的值。

答案：
(1)①aⁿ-bⁿ ②2³-1 ③2ⁿ-1
(2) 5
(3)原式=$\frac{2^{10}+2}{3}$=342