《2025年华东师大版一课一练七年级数学上册沪教版五四制》

12 因式分解：$(4a + b)^{2} - 4(a + b)^{2}$。

答案： 3(2a+b)(2a-b)

13 请你从下列各式中,任选两式作差,并将得到的式子进行因式分解。(写出一种情况即可)
$81a^{4}$、$36a^{2}b^{2}(x - y)^{2}$、$16b^{4}$

答案： 答案不唯一，例如选81a⁴、16b⁴，那么81a⁴-16b⁴=(9a²+4b²)(3a+2b)(3a-2b)

14 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”。如$4 = 2^{2} - 0^{2}$,$12 = 4^{2} - 2^{2}$,$20 = 6^{2} - 4^{2}$,因此 4、12、20 都是“神秘数”。
(1) 28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2) 设两个连续的偶数为$2k和2k + 2$($k$为非负整数),由这两个连续偶数构造的“神秘数”是 4 的倍数吗？为什么？
(3) 两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？

答案： （1）28=2×14=(8-6)(8+6)=8²-6²，2012=2×1006=(504-502)(504+502)=504²-502²，所以28和2012是神秘数；（2）是，理由：(2k+2)²-(2k)²=4(2k+1)，所以由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；（3）由（2）知神秘数可以表示为4(2k+1)，因为k为非负整数，所以2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但不是8的倍数，设两个连续的奇数为2n+1和2n-1，则(2n+1)²-(2n-1)²=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数，所以两个连续奇数的平方差不是神秘数。