《2025年华东师大版一课一练七年级数学上册沪教版五四制》

四、解答题
26先化简,再求值:(x-$\frac{x}{x+1}$).$\frac{x+1}{x^2+3x+2}$+$\frac{x^2-2x}{x^2-4}$,其中x= -$\frac{1}{2}$

答案： 【解析】：
本题主要考查分式的化简及求值。
首先，对原式进行化简。
原式包含两部分，先分别化简：
对于第一部分：
$(x - \frac{x}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x^2 + 3x + 2}$
$= (\frac{x(x + 1)}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{(x + 1)(x + 2)}$
$= \frac{x^2 + x - x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{(x + 1)(x + 2)}$
$= \frac{x^2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 2}$
$= \frac{x^2}{(x + 1)(x + 2)}$
对于第二部分：
$\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}$
$= \frac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$= \frac{x}{x + 2}$ （注意，这里$x \neq 2$，因为分母不能为0）
将两部分相加，得到：
$\frac{x^2}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{x}{x + 2}$
$= \frac{x^2 + x(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)}$
$= \frac{x^2 + x^2 + x}{(x + 1)(x + 2)}$
$= \frac{2x^2 + x}{(x + 1)(x + 2)}$
$= \frac{x(2x + 1)}{(x + 1)(x + 2)}$
然后，将$x = -\frac{1}{2}$代入化简后的式子中：
$\frac{-\frac{1}{2}(2(-\frac{1}{2}) + 1)}{(-\frac{1}{2} + 1)(-\frac{1}{2} + 2)}$
$= \frac{-\frac{1}{2}(-1 + 1)}{(\frac{1}{2})(\frac{3}{2})}$
$= \frac{0}{\frac{3}{4}}$
$= 0$
【答案】：
原式$= 0$

27观察下面的变形规律,解答问题:
①1×$\frac{1}{2}$= 1-$\frac{1}{2}$;②$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$= $\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$;③$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$= $\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$;④$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$= $\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$;
(1)如果n为正整数,猜想第n组等式为:______;
(2)验证(1)中所得到的等式;
(3)利用规律化简:$\frac{1}{(x+1)(x+2)}$+$\frac{1}{(x+2)(x+3)}$+$\frac{1}{(x+3)(x+4)}$+...
+$\frac{1}{(x+2023)(x+2024)}$;
(4)化简:$\frac{1}{x(x+2)}$+$\frac{1}{(x+2)(x+4)}$+$\frac{1}{(x+4)(x+6)}$+$\frac{1}{(x+6)(x+8)}$+...
+$\frac{1}{(x+2022)(x+2024)}$。 (直接写出答案)

答案： 【解析】：
本题主要考察的是对数列变形规律的观察与运用，以及分数的性质和运算。
(1) 通过观察给出的等式，可以发现每个等式都符合一个特定的模式，即$\frac{1}{n} × \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，所以第n组等式可以猜想为这个形式。
(2) 验证猜想的等式，可以通过分数的性质进行运算，证明等式两边是相等的。
(3) 利用猜想的规律，可以将复杂的分数表达式进行化简，通过裂项相消法，将复杂的分数相加转化为简单的分数相减。
(4) 这一部分也是利用分数的性质和运算规则，将复杂的分数表达式进行化简。
【答案】：
(1) 第n组等式为：$\frac{1}{n} × \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
(2) 验证：
右边$= \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
$= \frac{n + 1}{n(n + 1)} - \frac{n}{n(n + 1)}$
$= \frac{n + 1 - n}{n(n + 1)}$
$= \frac{1}{n(n + 1)}$
$= \text{左边}$
所以，等式$\frac{1}{n} × \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$成立。
(3) 利用规律化简：
原式$= \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} + \ldots + \frac{1}{x + 2023} - \frac{1}{x + 2024}$
$= \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2024}$
$= \frac{x + 2024 - (x + 1)}{(x + 1)(x + 2024)}$
$= \frac{2023}{(x + 1)(x + 2024)}$
(4) 化简：
原式$= \frac{1}{2}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 4} + \ldots + \frac{1}{x + 2022} - \frac{1}{x + 2024})$
$= \frac{1}{2}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2024})$
$= \frac{1012}{x(x + 2024)}$

28为了创建全国卫生城市,某社区要清理一个卫生死角内的垃圾,租用甲、乙两车运
送,两车各运12次可完成,需支付运费4800元。已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾,乙
车所运次数是甲车的2倍,且乙车每次运费比甲车少200元。
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少次;
(2)如果单独租用一台车,租用哪台车合算？

答案： 【解析】：
本题主要考查分式方程的应用和费用计算问题。
(1)部分需要通过设立代数式，表示甲、乙两车单独运完垃圾所需的次数，然后根据题目条件建立方程求解。
(2)部分则需要通过设立方程表示两车的运费，并比较单独租用哪台车更合算。
对于
(1)，设甲车单独运完此堆垃圾需运$x$次，则乙车单独运完此堆垃圾需运$2x$次。根据题意，两车各运12次可完成，可以设立方程求解$x$。
对于
(2)，首先需要求出甲、乙两车每次的运费。设甲车每次的运费为$a$元，则乙车每次的运费为$(a-200)$元。根据两车各运12次需支付运费4800元，可以设立方程求解$a$。然后分别计算出单独租用甲车或乙车的总费用，并进行比较。
【答案】：
(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运$x$次，则乙车单独运完此堆垃圾需运$2x$次，
根据题意，有$\frac{12}{x} + \frac{12}{2x} = 1$，
解这个方程，得到$x = 18$，
经检验，$x = 18$是原方程的解，且符合题意，
此时$2x = 36$，
综上所述，甲车单独运完此堆垃圾需运18次，乙车单独运完此堆垃圾需运36次。
(2)设甲车每次的运费为$a$元，则乙车每次的运费为$(a-200)$元，
根据题意，有$12a + 12(a - 200) = 4800$，
解这个方程，得到$a = 300$，
此时乙车每次的运费为$a - 200 = 100$元，
所以单独租用甲车的总费用为$18 × 300 = 5400$元，
单独租用乙车的总费用为$36 × 100 = 3600$元，
因为$5400 ＞ 3600$，
综上所述，如果单独租用一台车，租用乙车合算。