《2025年华东师大版一课一练七年级数学上册沪教版五四制》

1 下列方程不是分式方程的是( )。

A.$\frac {1}{x}+x= 2+3x$
B.$\frac {x}{2x+3}= \frac {4}{5}$
C.$\frac {x}{π}-\frac {x+1}{3}= 4$
D.$\frac {1}{x-5}-\frac {4}{2x+3}= 1$

答案： C

2 解分式方程 $\frac {2}{x-1}+\frac {x+2}{1-x}= 3$,去分母后变形为( )。

A.$2+(x+2)= 3(x-1)$
B.$2-x+2= 3(x-1)$
C.$2-(x+2)= 3(x-1)$
D.$2-(x+2)= 3(1-x)$

答案： 【解析】：
本题考查解分式方程去分母的知识点。
对于分式方程 $\frac {2}{x-1}+\frac {x+2}{1-x}= 3$，
首先观察分母，有 $x-1$ 和 $1-x$，这两个是互为相反数的分母。
为了去分母，我们需要找到一个公共的分母，这里显然是 $(x-1)(1-x)$ 或简化为 $-(x-1)^2$，但实际操作中我们常用 $x-1$ 的形式进行去分母。
将整个方程两边同时乘以 $x-1$，得到：
$2 - (x+2) = 3(x-1)$
这里注意到，因为第二个分数的分母是 $1-x$，在乘以 $x-1$ 后，需要变号。
对比选项，可以看出变形后的方程与选项C一致。
【答案】：
C

3 关于 $x$ 的分式方程 $\frac {x-a}{b-x}= \frac {c}{d}$ 有一个解,那么必须满足条件( )。

A.$a≠-b,c≠d$
B.$a≠b,c≠-d$
C.$a≠-b,c≠-d$
D.$a≠b,c≠d$

答案： 解：方程两边同乘$d(b - x)$得：$d(x - a) = c(b - x)$，
去括号得：$dx - da = cb - cx$，
移项合并同类项得：$(d + c)x = cb + da$，
当$c + d \neq 0$，即$c \neq -d$时，$x = \frac{ad + bc}{c + d}$，
因为方程有一个解，所以$b - x \neq 0$，即$x \neq b$，
将$x = \frac{ad + bc}{c + d}$代入$x \neq b$得：$\frac{ad + bc}{c + d} \neq b$，
$ad + bc \neq b(c + d)$，$ad + bc \neq bc + bd$，$ad \neq bd$，
因为$d$在分母位置，$d \neq 0$，两边同除以$d$得$a \neq b$，
综上，必须满足$a \neq b$且$c \neq -d$。
答案：B

4 为了进一步丰富文体活动,学校准备购进一批篮球和足球。已知每个篮球的价格比每个足球的价格多 20 元,用 1500 元购进篮球的数量比 800 元购进足球的数量多 5 个。如果设每个足球的价格为 $x$ 元,那么可列方程( )。

A.$\frac {1500}{x+20}-\frac {800}{x}= 5$
B.$\frac {1500}{x-20}-\frac {800}{x}= 5$
C.$\frac {800}{x}-\frac {1500}{x+20}= 5$
D.$\frac {800}{x}-\frac {1500}{x-20}= 5$

答案： 【解析】：
首先，我们根据题目描述，设每个足球的价格为$x$元，那么每个篮球的价格就是$x+20$元。
接着，我们根据题目中的条件“用1500元购进篮球的数量比800元购进足球的数量多5个”来列方程。
用1500元购进篮球的数量是$\frac{1500}{x+20}$，用800元购进足球的数量是$\frac{800}{x}$。
根据题目条件，我们可以列出方程：
$\frac{1500}{x+20} - \frac{800}{x} = 5$
这个方程与选项A中的方程一致，所以我们可以确定答案为A。
【答案】：
A

5 已知分式 $\frac {x}{2x-3}$ 的值比分式 $\frac {2}{3-2x}$ 的值大 4,那么 $x= $____。

答案： 【解析】：
本题主要考查一元一次方程的解法。
首先，根据题意，我们可以列出方程：
$\frac {x}{2x-3} - \frac {2}{3-2x} = 4$
为了解这个方程，我们需要消去分母。注意到两个分母$2x-3$和$3-2x$是互为相反数，因此我们可以将第二个分数的分子和分母都乘以-1，得到：
$\frac {x}{2x-3} + \frac {2}{2x-3} = 4$
接下来，我们可以将方程两边同时乘以$2x-3$（注意$x \neq \frac{3}{2}$，否则分母为0）：
$x + 2 = 4(2x-3)$
展开并整理得：
$x + 2 = 8x - 12$
将所有项移到方程的一侧，得：
$7x = 14$
解得：
$x = 2$
最后，我们需要检验这个解是否合法。将$x=2$代入原方程的分母，得$2x-3=4-3=1 \neq 0$，所以$x=2$是原方程的解。
【答案】：
$x = 2$

6 已知分式 $\frac {2}{3-x}$ 与分式 $\frac {3}{x+1}$ 的值互为相反数,那么 $x= $____。

答案： 解：由题意得，$\frac{2}{3 - x} + \frac{3}{x + 1} = 0$
方程两边同乘$(3 - x)(x + 1)$得：$2(x + 1) + 3(3 - x) = 0$
去括号得：$2x + 2 + 9 - 3x = 0$
合并同类项得：$-x + 11 = 0$
解得：$x = 11$
经检验，$x = 11$是原方程的解。
$x = 11$

7 对于非零的两个有理数 $a、b$,我们给出一种新的运算,规定: $a\otimes b= \frac {1}{b}-\frac {1}{a}$,如果 $1\otimes (x+1)= 1$, 那么 $x$ 的值为____。

答案： 【解析】：
根据题目中给出的新运算规则，我们有$a\otimes b= \frac {1}{b}-\frac {1}{a}$，
所以$1\otimes (x+1)$可以转化为$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{1}$，
根据题目，这个表达式等于1，所以我们有方程：
$\frac{1}{x + 1} - 1 = 1$，
移项我们可以得到：
$\frac{1}{x + 1} = 2$，
进一步解方程，我们可以得到$x = -\frac{1}{2}$，
经检验，$x = -\frac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】：
$x = -\frac{1}{2}$。

8 当 $m= $____时,关于 $x$ 的方程 $\frac {x}{x-2}-3= \frac {m}{x-2}$ 会产生增根。

答案： 【解析】：
题目考察的是分式方程的增根问题。增根通常出现在分母为零的地方，即需要找到使分母为零的$x$值，并确定该值在方程中如何产生增根。对于本题，增根发生在$x-2=0$，即$x=2$。
接下来，将原方程两边都乘以$(x-2)$以消去分母，
得到：$x-3(x-2)=m$，
化简后：$x-3x+6=m$，
即：$-2x+6=m$，
或$x=\frac{6-m}{2}$，
由于增根发生在$x=2$，代入得：$2=\frac{6-m}{2}$，
解这个方程，得到$m=2$。
【答案】：
$m = 2$。

9 某公司经销品牌新能源汽车,2023 年的销售总额为 8000 万元,2024 年的销售总额为 7000 万元,2024 年每辆车的销售价格比 2023 年降低 2 万元,如果 2024 年销售数量与 2023 年相同,设 2024 年每辆车的销售价格为 $x$ 万元,根据题意列方程为____。

答案： 【解析】：
这是一个关于销售总额、销售价格和销售数量之间关系的问题。
首先，我们知道销售总额是由销售价格和销售数量共同决定的，公式为：销售总额 = 销售价格 × 销售数量。
设2024年每辆车的销售价格为$x$万元，那么2023年每辆车的销售价格就是$x+2$万元（因为2024年每辆车的销售价格比2023年降低了2万元）。
又因为题目中给出2024年销售数量与2023年相同，我们设这个相同的销售数量为$n$。
根据销售总额的计算公式，我们可以得到以下两个等式：
2023年的销售总额：$(x+2) × n = 8000$万元，
2024年的销售总额：$x × n = 7000$万元，
由于$n$是相同的，我们可以通过两个等式消去$n$，得到关于$x$的方程。
将两个等式相除，得到：
$\frac{x+2}{x} = \frac{8000}{7000}$
化简得：
$\frac{x+2}{x} = \frac{8}{7}$
这就是我们需要列的方程，但题目要求的是根据题意直接列方程，所以我们应回到原始的销售总额关系，直接写出：
$\frac{8000}{x+2} = \frac{7000}{x}$
或者
$8000x = 7000(x + 2)$
【答案】：
$\frac{8000}{x+2} = \frac{7000}{x}$（或 $8000x = 7000(x + 2)$）

10 对于两个不相等的有理数 $a、b$,我们规定符号 $min\{ a,b\}$ 表示 $a、b$ 中较小的值,如:$min\{ 2,4\} = 2$。按照这个规定,方程 $min\{ \frac {1}{x},-\frac {1}{x}\} = \frac {3}{x}-1(x≠0)$ 的解为____。

答案： 解：分两种情况讨论：
情况一：当$\frac{1}{x} ＜ -\frac{1}{x}$时，即$\frac{2}{x} ＜ 0$，解得$x ＜ 0$。
此时$min\left\{ \frac{1}{x}, -\frac{1}{x} \right\} = \frac{1}{x}$，方程可化为：
$\frac{1}{x} = \frac{3}{x} - 1$
移项得：$\frac{1}{x} - \frac{3}{x} = -1$
即$-\frac{2}{x} = -1$
解得$x = 2$
经检验，$x = 2$不满足$x ＜ 0$，舍去。
情况二：当$-\frac{1}{x} ＜ \frac{1}{x}$时，即$-\frac{2}{x} ＜ 0$，解得$x ＞ 0$。
此时$min\left\{ \frac{1}{x}, -\frac{1}{x} \right\} = -\frac{1}{x}$，方程可化为：
$-\frac{1}{x} = \frac{3}{x} - 1$
移项得：$-\frac{1}{x} - \frac{3}{x} = -1$
即$-\frac{4}{x} = -1$
解得$x = 4$
经检验，$x = 4$满足$x ＞ 0$，是原方程的解。
综上，方程的解为$x = 4$。
答案：$x = 4$