《2025年华东师大版一课一练七年级数学上册沪教版五四制》

29阅读理解
材料1:为了研究分式的值与其分母x的数量变化关系,小明制作了表格,并得到如下
数据:
.. -4| -3 -2 -1 0 2 3
$\frac{1}{x}$ -0.25-0.3 -0.5 -1 无意义 1 0.5 0.3 0.25
从表格数据观察,当x＞0时,随着x的增大,$\frac{1}{x}$的值随之减小,当x无限增大,那么$\frac{1}{x}$无限接近
于0;当x＜0时,随着x的增大,$\frac{1}{x}$的值随之减小。
材料2:在分子、分母都是整式的情况下,如果分子的次数低于分母的次数,称这样的分式为真
分式;如果分子的次数不低于分母的次数,称这样的分式为假分式。
任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和。
例如:$\frac{x+1}{x-4}$= $\frac{(x-4)+5}{x-4}$= $\frac{x-4}{x-4}$+$\frac{5}{x-4}$= 1+$\frac{5}{x-4}$。
根据上述材料完成下列问题:
(1)当x＞0时,随着x的增大,1+$\frac{1}{x}$的值______(填“增大”或“减小”);当x＜0时,随着
x的增大,$\frac{x+2}{x}$的值______(填“增大”或“减小”);
(2)当x＞1时,随着x的增大,$\frac{3x+1}{x-1}$的值无限接近一个数,请求出这个数;
(3)当0＜x＜2时,请直接写出代数式$\frac{2x-1}{x-3}$的取值范围。

答案： 【解析】：
(1)考察分式的值与其分母的数量变化关系。
对于 $1+\frac{1}{x}$ ，当 $x ＞ 0$ 时，随着 $x$ 的增大，$\frac{1}{x}$ 的值减小，所以 $1+\frac{1}{x}$ 的值也随之减小。
对于 $\frac{x+2}{x}$ ，可以化简为 $1+\frac{2}{x}$ ，当 $x ＜ 0$ 时，随着 $x$ 的增大（即数值上越来越接近0，但仍然是负数），$\frac{2}{x}$ 的值会减小（即数值上越来越负），
所以 $1+\frac{2}{x}$ 的值也随之减小。
(2)考察假分式化为整式与真分式的和。
给定 $\frac{3x+1}{x-1}$ ，可以化为 $3+\frac{4}{x-1}$ ，当 $x ＞ 1$ 时，随着 $x$ 的增大，$\frac{4}{x-1}$ 的值无限接近于0，
所以 $\frac{3x+1}{x-1}$ 的值无限接近于3。
(3)考察代数式的取值范围。
对于 $\frac{2x-1}{x-3}$ ，可以化简为 $2+\frac{5}{x-3}$ ，当 $0 ＜ x ＜ 2$ 时，$x-3$ 的值在 $-3$ 到 $-1$ 之间，
所以 $\frac{5}{x-3}$ 的值在 $-5$ 到 $-1$ 之间（不包含 $-1$ 和 $-5$ ），
因此 $\frac{2x-1}{x-3}$ 的值在 $-3$ 到 $1$ 之间（不包含 $-3$ 和 $1$ ）。
【答案】：
(1)减小；减小
(2)当 $x ＞ 1$ 时，随着 $x$ 的增大，$\frac{3x+1}{x-1}=3+\frac{4}{x-1}$ 的值无限接近于3。
(3)当 $0 ＜ x ＜ 2$ 时，代数式 $\frac{2x-1}{x-3}$ 的取值范围为 $-3 ＜ \frac{2x-1}{x-3} ＜ 1$ 。