《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

15. 如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BD. 求证：∠ABD = ∠BDF.

答案： 15. 证明：
∵ \(EF\) 垂直平分 \(BD\)，
∴ \(FB = FD\)，
∴ \(\angle FBD = \angle BDF\).
∵ \(BD\) 是 \(\angle ABC\) 的平分线，
∴ \(\angle ABD = \angle FBD\)，
∴ \(\angle ABD = \angle BDF\). 

16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠BAC的平分线交BC于点D. 过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E. 过点D作DF⊥AB于点F. 下列结论：
①∠CED = ∠CDE；②∠ADF = 2∠ECD；③$S_{△AEC}:S_{△AEG} = AC:AG$；④$S_{△CED} = S_{△DFB}$；⑤CE = DF. 其中正确结论的序号是 ( )

A. ①③④
B. ①②⑤
C. ③④⑤
D. ①③⑤

答案： D

17. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB = BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM = PN.

答案： 17. 证明：
∵ \(BD\) 是 \(\angle ABC\) 的平分线，
∴ \(\angle ABD = \angle CBD\). 在 \(\triangle ABD\) 和 \(\triangle CBD\) 中，
∵ \(AB = CB\)，\(\angle ABD = \angle CBD\)，\(BD = BD\)，
∴ \(\triangle ABD\cong\triangle CBD(SAS)\)，
∴ \(\angle ADB = \angle CDB\)，
∴ \(\angle ADP = \angle CDP\)， 即 \(DP\) 平分 \(\angle ADC\).
∵ \(PM\perp AD\)，\(PN\perp CD\)，
∴ \(PM = PN\). 

18. 如图，锐角三角形ABC中，AB = AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD. 下列命题中，假命题是 ( )

A. 若CD = BE，则∠DCB = ∠EBC
B. 若∠DCB = ∠EBC，则CD = BE
C. 若BD = CE，则∠DCB = ∠EBC
D. 若∠DCB = ∠EBC，则BD = CE

答案： A

19. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，CE = CD，F为CB边上一点，EF⊥射线AD于点K，过点D作直线DG⊥AB于点G，交EF于点H，作∠AGD的平分线交AD于点M，过点M作AB的平行线，交DG于点O，交BC于点Q，交EF于点N，MO = NO.
(1)找出图中和∠DHK相等的一个角，并证明；
(2)判断EH，FN，MD的数量关系，并证明.

答案： 19. 解：
(1)（答案不唯一）\(\angle DHK=\angle BAK\). 证明：如图，
∵ \(AK\perp EF\)，
∴ \(\angle AKE = 90^{\circ}\)，
∴ \(\angle 3 + \angle DHK = 90^{\circ}\).
∵ \(HG\perp AB\)，
∴ \(\angle 2 + \angle BAK = 90^{\circ}\).
∵ \(\angle 2 = \angle 3\)，
∴ \(\angle DHK = \angle BAK\).
(2) \(MD = EH + FN\). 证明：如图，连接 \(GN\).
∵ \(\angle ACB = \angle AKF = 90^{\circ}\)，
∴ \(\angle 4 + \angle 5 = 90^{\circ}\)，\(\angle 6 + \angle 7 = 90^{\circ}\).
∵ \(\angle 5 = \angle 6\)，
∴ \(\angle 4 = \angle 7\).
∵ \(\angle ACB = \angle FCE = 90^{\circ}\)，\(CD = CE\)，
∴ \(\triangle ACD\cong\triangle FCE(AAS)\)，
∴ \(AD = FE\).
∵ \(MN\parallel AB\)，
∴ \(\angle MOD = \angle AGD = 90^{\circ}\).
∵ \(OM = ON\)，
∴ \(DG\) 垂直平分 \(MN\)，
∴ \(MG = NG\)，\(\angle MGO = \angle HGN\).
∵ \(MG\) 平分 \(\angle AGH\)，
∴ \(\angle AGM = \angle MGO\)，
∴ \(\angle AGM = \angle HGN\).
∵ \(\angle MAG = \angle NHG\)，\(MG = NG\)，
∴ \(\triangle AMG\cong\triangle HNG(AAS)\)，
∴ \(AM = HN\).
∵ \(AD = EF\)，
∴ \(MD = AD - AM = EF - HN = EH + FN\).