《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 75^{\circ}$，若$\angle ABD = 105^{\circ}$，过点$C$作$CE// BD$，则$\angle ACE$的度数为（ ）

A. $20^{\circ}$
B. $25^{\circ}$
C. $30^{\circ}$
D. $35^{\circ}$

答案： C

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，且$\angle ACB = \angle BAD$，$AE$平分$\angle CAD$，交$BC$于点$E$，过点$E$作$EF// AC$，分别交$AB$，$AD$于点$F$，$G$。则下列结论：①$\angle BAC = 90^{\circ}$；②$\angle AEF = \angle EAD$；③$\angle BAE = \angle BEA$；④$\angle DAB + 2\angle AEF = 90^{\circ}$。其中正确的是___________（填写序号）.

答案： ①②③④

12. 如图，直线$m// n$，$BC$为$\angle ABD$的三等分线，$\angle DAB = \alpha$，$\angle DBC = \beta$，求$\angle 1$的度数.

答案： 解:
∵ $m// n$，
∴ $\angle ABC = \angle BCD$，$\angle ADC = \angle DAB=\alpha$.
∵ $BC$为$\angle ABD$的三等分线，
∴ $\angle DBC = \beta = \frac{1}{3}\angle ABD$或$\angle DBC=\beta = \frac{2}{3}\angle ABD$.
　当$\angle DBC=\beta = \frac{1}{3}\angle ABD$时，
　　$\angle BCD = \angle ABC = 2\beta$.
∵ $\angle 1$是$\triangle CDE$的外角，
∴ $\angle 1 = \angle ADC + \angle BCD=\alpha + 2\beta$；
　当$\angle DBC=\beta = \frac{2}{3}\angle ABD$时，
　　$\angle BCD = \angle ABC = \frac{1}{2}\beta$.
∵ $\angle 1$是$\triangle CDE$的外角，
∴ $\angle 1 = \angle ADC + \angle BCD=\alpha+\frac{1}{2}\beta$.
　综上所述，$\angle 1$的度数为$\alpha + 2\beta$或$\alpha+\frac{1}{2}\beta$.

13. 推理能力 在$\triangle ABC$中，$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$，点$E$是线段$AC$上的动点（不与点$A$，$D$，$C$重合），过点$E$作$EF// AB$交直线$BD$于点$F$，$\angle CEF$的平分线所在直线与射线$BD$交于点$G$.

(1) 如图1，点$E$在线段$AD$上运动.
① 若$\angle ABC = 40^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，则$\angle DGE =$_____$^{\circ}$；
② 若$\angle C = 40^{\circ}$，则$\angle DGE =$_____$^{\circ}$；
③ 试探究$\angle DGE$与$\angle C$之间的数量关系，并说明理由.
(2) 若点$E$在线段$DC$上运动，请在图2中补全图形，并直接写出$\angle DGE$与$\angle C$之间的数量关系（不必说明理由）.

答案：
解:
(1)①50.②70.
　③$\angle DGE = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C$. 理由如下:
∵ $EF// AB$，
∴ $\angle EFG = \angle ABG$，$\angle FEC = \angle A$.
　又
∵ $BD$是$\angle ABC$的平分线，$EG$是$\angle CEF$的平分线，
∴ $\angle EFG = \frac{1}{2}\angle ABC$，
　　$\angle FEG = \frac{1}{2}\angle A$.
　又
∵ $\angle DGE = \angle EFG + \angle FEG$，
∴ $\angle DGE = \frac{1}{2}(\angle ABC+\angle A)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C$.
(2)补全图形如图.

　$\angle DGE = \frac{1}{2}\angle C$.
　解析:
∵ $BD$是$\angle ABC$的平分线，$ME$是$\angle CEF$的平分线，
∴ $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle MEF = \frac{1}{2}\angle CEF$.
∵ $EF// AB$，
∴ $\angle BFE = \angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle AEF=\angle A = 180^{\circ}-\angle CEF$，
∴ $\angle CEF = 180^{\circ}-\angle A$.
∵ $\angle BFE+\angle DGE = \angle MEF = \frac{1}{2}\angle CEF = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$，
∴ $\frac{1}{2}\angle ABC+\angle DGE = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$，
∴ $\angle DGE = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A-\frac{1}{2}\angle ABC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)=90^{\circ}-90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C=\frac{1}{2}\angle C$，
∴ $\angle DGE = \frac{1}{2}\angle C$.