《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE = BD，BD的延长线与AE交于点F. 猜想BD与AE的位置关系，并证明猜想的正确性.

答案： 解：猜想：\(BD\perp AE\). 证明：\(\because \angle ACB = 90^{\circ}\)， \(\therefore \angle ACE=\angle BCD = 90^{\circ}\). 又 \(\because BD = AE,BC = AC\)， \(\therefore \triangle BDC\cong \triangle AEC(HL)\)， \(\therefore \angle CBD=\angle CAE\). 又 \(\because \angle CAE+\angle E = 90^{\circ}\)， \(\therefore \angle EBF+\angle E = 90^{\circ}\)， \(\therefore \angle BFE = 90^{\circ}\)，即 \(BD\perp AE\).

14. 一线三垂直模型 如图，在△ABC中，AB = AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
（1）若点B，C在DE的同侧（如图1所示），且AD = CE. 求证：AB⊥AC；
（2）若点B，C在DE的两侧（如图2所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.

答案：
(1) 证明：\(\because BD\perp DE,CE\perp DE\) \(\therefore \angle ADB=\angle CEA = 90^{\circ}\). 在 \(Rt\triangle ABD\) 和 \(Rt\triangle CAE\) 中， \(\because AB = CA,AD = CE\)， \(\therefore Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CAE(HL)\)， \(\therefore \angle DAB=\angle ECA\). \(\because \angle EAC+\angle ECA = 90^{\circ}\)， \(\therefore \angle DAB+\angle CAE = 90^{\circ}\)， \(\therefore \angle BAC = 180^{\circ}-(\angle DAB+\angle CAE)=90^{\circ}\)， \(\therefore AB\perp AC\).
(2) \(AB\perp AC\). 证明：同
(1) 可证得 \(Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CAE\)， \(\therefore \angle DAB=\angle ECA\). \(\because \angle CAE+\angle ECA = 90^{\circ}\)， \(\therefore \angle CAE+\angle DAB = 90^{\circ}\)， 即 \(\angle BAC = 90^{\circ},
\therefore AB\perp AC\).