《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

15. 不等式$-2x + 10\geqslant0$的正整数解有（ ）
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个

答案： B

16. 新定义 定义新运算$a*b=\begin{cases}a(a ＜ b)\\b(a\geqslant b)\end{cases}$，则不等式$(3 - 2x)*(2x + 1)＜1$的解集为（ ）
A. $x＞\frac{1}{2}$或$x＜0$
B. $0＜x＜\frac{1}{2}$
C. $x＞1$或$x＜0$
D. $0＜x＜1$

答案： C

17. 对于任意实数$a,b$，定义一种运算：$a※b = ab - a + b - 2$. 例如：$2※5 = 2\times5 - 2 + 5 - 2 = 11$. 请根据上述的定义解决问题：若不等式$3※x＜2$，则不等式的正整数解是____.

答案： 1

18. 求不等式$\frac{0.4x - 1}{0.5}-\frac{5 - x}{2}\leqslant\frac{0.03 - 0.02x}{0.03}$的非负整数解，并把它的解集在数轴上表示出来.

答案：
解：原不等式可化为$\frac{4x - 10}{5}-\frac{5 - x}{2}\leq\frac{3 - 2x}{3}$.
去分母，得$6(4x - 10)-15(5 - x)\leq10(3 - 2x)$.
去括号，得$24x - 60 - 75 + 15x\leq30 - 20x$.
移项，得$24x + 15x + 20x\leq30 + 60 + 75$.
合并同类项，得$59x\leq165$.
两边都除以59，得$x\leq\frac{165}{59}$.
∴原不等式的非负整数解是0，1，2.
将它的解集表示在数轴上如图所示:

19. 运算能力 一个两位正整数$n$，如果$n$满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将$n$的两个数位上的数字对调得到一个新数$n'$. 把$n'$放在$n$的后面组成第一个四位数，把$n$放在$n'$的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为$F(n)$，例如：$n = 23$时，$n' = 32$，$F(23)=\frac{2332 - 3223}{11}=-81$. 对于两位正整数$s$与$t$，其中$s = 10a + b$，$t = 10x + y(1\leqslant b ＜ a\leqslant9,1\leqslant x,y\leqslant9$，且$a,b,x,y$为整数).
(1)若$F(s)$能被7整除，求$a - b$的值；
(2)在(1)的条件下，若$F(s)+81ky = kF(t)$，其中$k$为整数，求此时$s$与$t$乘积的最大值.

答案： 解：
(1) $\because s = 10a + b$，
$\therefore F(s)=\frac{(1000a + 100b + 10b + a)}{11}-\frac{(1000b + 100a + 10a + b)}{11}$
$= 81(a - b)$.
$\because F(s)$能被7整除，$1\leq b ＜ a\leq9$，
$\therefore a - b = 7$.
(2) $\because t = 10x + y$，
$\therefore F(t)=81(x - y)$.
$\because F(s)+81ky = kF(t)$，
$\therefore 81(a - b)+81ky = k\cdot81(x - y)$.
$\because a - b = 7$，
$\therefore 81\times7 + 81ky = k\cdot81(x - y)$，
$\therefore k=\frac{7}{x - 2y}$.
$\because k$为整数，$\therefore x - 2y=\pm1$或$\pm7$.
$\because 1\leq x,y\leq9$，
$\therefore$当$x = 3$时，$y = 1$，$t = 31$；当$x = 3$时，$y = 2$，$t = 32$；
当$x = 5$时，$y = 2$，$t = 52$；当$x = 5$时，$y = 3$，$t = 53$；
当$x = 7$时，$y = 3$，$t = 73$；当$x = 7$时，$y = 4$，$t = 74$；
当$x = 9$时，$y = 4$，$t = 94$；当$x = 9$时，$y = 5$，$t = 95$；
当$x = 9$时，$y = 1$，$t = 91$；当$x = 9$时，$y = 8$，$t = 98$.
$\because a - b = 7$，$1\leq b ＜ a\leq9$，
$\therefore a = 8$，$b = 1$或$a = 9$，$b = 2$，
$\therefore s$的值为81或92，
$\therefore st$的最大值为$92\times98 = 9016$.

20. 运算能力 对$m,n$定义一种新运算“$*$”，规定：$m*n = am - bn + 5(a,b$均为非零常数)，等式右边的运算是通常的四则运算，例如：$3*4 = 3a - 4b + 5$. 已知$2*3 = 1$，$3*( - 1)=10$，求关于$x$的不等式$x*(2x - 3)＜9$的最小整数解.

答案： 解：$\because 2*3 = 1$，$3*(-1)=10$，
$\therefore\begin{cases}2a - 3b + 5 = 1\\3a + b + 5 = 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 2\end{cases}$.
$\because x*(2x - 3)＜9$，
$\therefore x - 2(2x - 3)+5=-3x + 11＜9$，
解得$x＞\frac{2}{3}$，
$\therefore$关于$x$的不等式$x*(2x - 3)＜9$的最小整数解为1.