《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

1. 如图所示，$AB// CD$.
求证：$\angle BPD=\angle B+\angle D$.

答案：
证明:(方法一)如图,过点P作PQ//AB,
∴∠B = ∠BPQ.
∵AB//CD,

∴PQ//CD,
∴∠D = ∠DPQ.
∵∠BPD = ∠BPQ + ∠DPQ,
∴∠BPD = ∠B + ∠D.
(方法二)如图,过点P作

PQ//AB,
∴∠B + ∠BPQ = 180°.
∵AB//CD,
∴PQ//CD,
∴∠D + ∠DPQ = 180°,
∴∠B + ∠BPQ + ∠D + ∠DPQ = 360°.
∵∠BPQ + ∠DPQ + ∠BPD = 360°,
∴∠BPD = ∠B + ∠D.
(方法三)如图,延长BP交CD于点Q.
∵AB//CD,
∴∠B =

∠PQD.
∵∠D + ∠DPQ + ∠PQD = 180°,∠DPQ + ∠BPD = 180°,
∴∠BPD = ∠PQD + ∠D,
∴∠BPD = ∠B + ∠D.

变式1 如图所示，$\angle BPD=\angle B+\angle D$.
求证：$AB// CD$.

答案：
变式1:证明:
如图所示，过

点P作PQ//AB,
∴∠B = ∠BPQ.
∵∠BPD = ∠B + ∠D,且∠BPD = ∠BPQ + ∠DPQ,
∴∠D = ∠DPQ,
∴CD//PQ,
∴AB//CD.

2. 如图所示，$AB// CD$.
求证：$\angle B+\angle BPD+\angle D = 360^{\circ}$.

答案：
证明:(方法一)如图所示，过点P作

PQ//AB,
∴∠B + ∠BPQ = 180°.
∵AB//CD,
∴PQ//CD,
∴∠D + ∠DPQ = 180°.
∵∠BPD = ∠BPQ + ∠DPQ,
∴∠B + ∠BPD + ∠D = 360°.
(方法二)如图所示，连接BD,

∵AB//CD,
∴∠ABD + ∠CDB = 180°.
∵∠PBD + ∠PDB + ∠P = 180°,
∴∠ABP + ∠BPD + ∠CDP = 360°.
(方法三)如图所示，过点P作PQ//AB,
∴∠B =

∠BPQ.
∵AB//CD,
∴CD//PQ,
∴∠D = ∠DPQ.
∵∠BPQ + ∠BPD + ∠DPQ = 360°,
∴∠B + ∠BPD + ∠D = 360°.
(方法四)如图所示，分别延长CD，BP相交于点Q.
∵AB//CD,

∴∠ABP + ∠Q = 180°.
∵∠CDP + ∠PDQ = 180°,∠BPD + ∠DPQ = 180°,
∴(∠ABP + ∠BPD + ∠CDP)+(∠Q + ∠PDQ + ∠DPQ)=180° + 180°+180° = 540°.
∵∠Q + ∠PDQ + ∠DPQ = 180°,
∴∠ABP + ∠BPD + ∠CDP = 360°.

变式2 如图所示，$\angle B+\angle BPD+\angle D = 360^{\circ}$.
求证：$AB// CD$.

答案：
变式2:证明:
如图所示，过

点P作PQ//AB,
∴∠B + ∠BPQ = 180°.
∵∠B + ∠BPD + ∠D = 360°,∠BPD = ∠BPQ + ∠DPQ,
∴∠D + ∠DPQ = 180°,
∴PQ//CD,
∴AB//CD.

3. 如图所示，$AB// CD$.
求证：$\angle B-\angle D=\angle P$.

答案：
证明:(方法一)如图所示，过点P作

PQ//AB,
∴∠B + ∠BPQ = 180°.
∵AB//CD,
∴CD//PQ,
∴∠D + ∠DPQ = 180°,
∴∠B + ∠BPQ = ∠D + ∠DPQ,
∴∠B - ∠D = ∠DPQ - ∠BPQ = ∠DPB.
(方法二)如图所示,延长PB交CD于点Q.

∵AB//CD,
∴∠ABP = ∠CQB.
∵∠P + ∠D + ∠PQD = 180°,∠CQB + ∠PQD = 180°,
∴∠CQB = ∠P + ∠D,
∴∠ABP = ∠P + ∠D,
∴∠ABP - ∠D = ∠P.

变式3 如图所示，$\angle B-\angle D=\angle P$.
求证：$AB// CD$.

答案：
变式3:证明:
如图所示，过

点P作PQ//AB,
∴∠B + ∠BPQ = 180°,
∴∠BPQ = 180° - ∠B.
∵∠B - ∠D = ∠BPD,且∠DPQ = ∠BPQ + ∠BPD,
∴∠DPQ = 180° - ∠B + ∠B - ∠D = 180° - ∠D,
∴∠D + ∠DPQ = 180°,
∴CD//PQ,
∴AB//PQ,
∴AB//CD.