《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

8. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E. 已知CE = 3，BE = 5，求AC的长.

答案：
解:如图,过点E作ED⊥AB于点D.

　由作图方法可知,AE是∠CAB的平分线.
∵EC⊥AC,ED⊥AB,
∴EC = ED = 3.
　在Rt△ACE和Rt△ADE中,
∵AE = AE,EC = ED,
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),
∴AC = AD.
　在Rt△EDB中,DE = 3,BE = 5,
∴BD = 4.
　设AC = x,则AB = 4 + x,
∵在Rt△ACB中,AC² + BC² = AB²,
　即x² + 8² = (x + 4)²,解得x = 6,
∴AC的长为6.

9. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于点D，OE⊥OB交BC于点E，AC = 6，AB = 10，求△CDE的周长.

答案：
解:如图,延长DO交AB于点M,延长EO交AB于点N.

∵BO是∠ABC的平分线,
∴∠OBE = ∠OBN.
∵OE⊥OB,
∴∠BOE = ∠BON = 90°.
　在△BOE和△BON中,
∵∠OBE = ∠OBN,OB = OB,∠BOE = ∠BON,
∴△BOE≌△BON(ASA).
　同理可得,△AOD≌△AOM,
∴OE = ON,OD = OM,BE = BN,AD = AM.
　在△EOD和△NOM中,
∵OE = ON,∠DOE = ∠MON,OD = OM,
∴△EOD≌△NOM(SAS),
∴DE = MN.
∴△CDE的周长 = CE + CD + DE
　　= BC - BE + AC - AD + MN
　　= BC - (BM + MN) + AC - (AN + MN) + MN
　　= BC + AC - (BM + MN + AN)
　　= BC + AC - AB.
　在Rt△ABC中,AC = 6,AB = 10,
∴BC = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}$ = 8,
∴△CDE的周长 = BC + AC - AB = 8 + 6 - 10 = 4.

10. 推理能力、运算能力 如图，在△ABC中，AB = 3，BC = 9，以B为圆心，BA为半径画弧交BC于点D，分别以A，D为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AD的长为半径画弧交于点E，连接BE交AC于点F，∠BAC = 2∠AFB，求AF的长.

答案：
解:如图,过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥BA交BA的延长线于点N.
　　
　　由作图知,BE是∠ABD的平分线，
∴∠ABF = ∠DBF.
　　又
∵BA = BD,BF = BF,
　
∴△ABF≌△DBF(SAS),
　
∴∠BAF = ∠BDF,∠AFB = ∠DFB.
　
∵FM⊥BC,FN⊥BA,
∴FM = FN,
　
∴$\frac{S_{\triangle BCF}}{S_{\triangle ABF}}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot FM}{\frac{1}{2}AB\cdot FN}=\frac{FC}{AF}$
　
∴$\frac{BC}{AB}=3=\frac{FC}{AF}$,
∴FC = 3AF.
　
∵AB = DB = 3,BC = 9,
　
∴CD = 9 - 3 = 6.
　
∵∠BAF = 2∠AFB = ∠AFD,
　
∴∠AFD = ∠BDF,
　
∴∠CFD = ∠CDF,
　
∴CF = CD = 6,
∴AF = 2.