《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

14. 如图,过点$A( - 2,0)$的直线$l_1:y = kx + b(k\neq0)$与直线$l_2:y = - x + 1$交于$P( - 1,a)$.
(1)求直线$l_1$对应的表达式;
(2)直接写出方程组$\begin{cases}y = kx + b,\\y = - x + 1\end{cases}$的解;
(3)求四边形$PAOC$的面积.

答案： 解：
(1) 把$P(-1,a)$代入$y = - x + 1$，得$a = 2$，
则点$P$坐标为$(-1,2)$。
把$A(-2,0)$，$P(-1,2)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}0 = - 2k + b\\2 = - k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = 4\end{cases}$，
所以直线$l_{1}$对应的表达式为$y = 2x + 4$。
(2) 方程组$\begin{cases}y = kx + b\\y = - x + 1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = - 1\\y = 2\end{cases}$。
(3) 因为$y = - x + 1$交$x$轴于点$B$，交$y$轴于点$C$，
所以$B(1,0)$，$C(0,1)$，
所以四边形$PAOC$的面积$=S_{\triangle ABP}-S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\times3\times2-\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{5}{2}$。

15. 【材料阅读】二元一次方程$x - y = 1$有无数组解,如:$\begin{cases}x = - 1,\\y = - 2\end{cases}\begin{cases}x = 0,\\y = - 1\end{cases}\begin{cases}x = 1,\\y = 0\end{cases}\begin{cases}x = \frac{5}{2},\\y = \frac{3}{2}\end{cases}$
如果我们将方程的解看成一组有序数对,那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示,探究发现:以方程$x - y = 1$的解为坐标的点落在同一条直线上,如图1所示,同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解. 我们把这条直线称为该方程的图象.
【问题探究】
(1)请在图2中画出二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 4,\\x - y = - 1\end{cases}$中的两个二元一次方程的图象,并直接写出该方程组的解为__________;
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = 4,①\\kx - 3y = 3②\end{cases}$无解,请在图3中画出符合题意的两条直线,设方程①图象与$x,y$轴的交点分别是$A,B$,方程②图象与$x,y$轴的交点分别是$C,D$,计算$\angle ABO+\angle DCO$的度数.
【拓展应用】
(3)图4中包含关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 4,\\mx - 2m + y = - 3\end{cases}$的两个二元一次方程的图象,请直接写出该方程组的解__________.

答案：
解：
(1) $\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$
(2)
（方程②图象画法不唯一）
如图，由图可知$AB// CD$，
所以$\angle BAO=\angle DCO$。
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，
所以$\angle ABO+\angle DCO=\angle ABO+\angle BAO = 90^{\circ}$。
(3) $\begin{cases}x = 3\\y = - 2\end{cases}$
解析：如图，由图象得$l_{1}:2x + y = 4$，当$x = 0.5$时，$y = 3$，当$x = 3$时，$y = - 2$。若$mx - 2m + y = - 3$过$(0.5,3)$，则$0.5m - 2m + 3 = - 3$，解得$m = 4$，则$4\times7 - 2\times4 + 2 = 22\neq - 3$，所以$mx - 2m + y = - 3$的图象不是$l_{3}$，而是$l_{2}$。由图象得$l_{1}$，$l_{2}$相交于点$(3,-2)$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = - 2\end{cases}$。