《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

1. 如图，在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 20°. 过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD = AC. 在边AC上截取AF = AB，连接DF. 求证：DF = CB.

答案： 证明：在$\triangle ABC$中，$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 20^{\circ}$，
$\therefore\angle CAB = 180^{\circ}-\angle B - \angle C = 110^{\circ}$。
$\because AE\perp BC$，$\therefore\angle AEC = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle DAF = \angle AEC+\angle C = 110^{\circ}$，
$\therefore\angle DAF = \angle CAB$。
在$\triangle DAF$和$\triangle CAB$中，
$\because AD = BC$，$\angle DAF = \angle CAB$，$AF = AB$，
$\therefore\triangle DAF\cong\triangle CAB(SAS)$，
$\therefore DF = CB$。

2. 如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F. BC = DE，AC = AE，∠ACF + ∠AED = 180°. 求证：AB = AD.

答案： 证明：$\because\angle ACB+\angle ACF = 180^{\circ}$，$\angle ACF+\angle AED = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle ACB = \angle AED$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，
$\because BC = DE$，$\angle ACB = \angle AED$，$AC = AE$，
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADE(SAS)$，
$\therefore AB = AD$。

3. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD为△ABC的角平分线. 以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC = 80°，求∠BDE的度数.

答案： 解：
(1) 证明：$\because AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
$\therefore\angle BAD = \angle CAD$。
由作图知，$AE = AF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle ADF$中，
$\because AE = AF$，$\angle BAD = \angle CAD$，$AD = AD$，
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle ADF(SAS)$。
(2)$\because\angle BAC = 80^{\circ}$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，
$\therefore\angle EAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$。
由作图知，$AE = AD$，
$\therefore\angle AED = \angle ADE=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-40^{\circ}) = 70^{\circ}$。
$\because AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，
$\therefore AD\perp BC$，$\therefore\angle ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle BDE = 90^{\circ}-\angle ADE = 20^{\circ}$。

4. 一线三等角模型 如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE = CD，∠B = ∠AED = ∠C.
(1)求证：∠EAD = ∠EDA；
(2)若∠C = 60°，DE = 4时，求△AED的面积.

答案： 解：
(1) 证明：$\because\angle B = \angle AED = \angle C$，$\angle AEC = \angle B+\angle BAE=\angle AED+\angle CED$，
$\therefore\angle BAE = \angle CED$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ECD$中，
$\because\angle BAE = \angle CED$，$\angle B = \angle C$，$BE = CD$，
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle ECD(AAS)$，
$\therefore AE = ED$，$\therefore\angle EAD = \angle EDA$。
(2)$\because\angle AED = \angle C = 60^{\circ}$，$AE = ED$，
$\therefore\triangle AED$为等边三角形，
$\therefore AE = AD = ED = 4$。
如图，过点$A$作$AF\perp ED$于点$F$，
$\therefore EF=\frac{1}{2}ED = 2$，
$\therefore AF=\sqrt{AE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}$，
$\therefore S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}ED\cdot AF=\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{12}$。