《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

6. 如图，直线$y_{1}=2x - 2$与$y$轴交于点$A$，直线$y_{2}=ax + 6$与$y$轴交于点$B$，两直线交于点$C$，且点$C$的横坐标为$2$.
（1）求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - 2 = y\\ax - y=-6\end{cases}$的解；
（2）求$a$的值；
（3）求$\triangle ABC$的面积；
（4）在直线$y_{1}=2x - 2$的图象上存在异于点$C$的另一点$P$，使得$\triangle ABC$与$\triangle ABP$的面积相等，请求出点$P$的坐标.

答案： 解：
(1)根据题意，将$x = 2$代入$y_1 = 2x - 2$，得$y = 2$，
所以点$C$的坐标为$(2,2)$，
所以方程组$\begin{cases}2x - 2 = y\\ax - y = -6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$。
(2)将点$C(2,2)$代入直线$y_2 = ax + 6$，
得$2a + 6 = 2$，解得$a = -2$。
(3)令$x = 0$，则$y_2 = -2x + 6 = 6$，
所以点$B$坐标为$(0,6)$。
令$x = 0$，则$y_1 = 2x - 2 = -2$，
所以点$A$坐标为$(0,-2)$，
所以$AB = 8$，
所以$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}×8×2 = 8$。
(4)设点$P$坐标为$(p,2p - 2)$，
则$\triangle ABP$的面积为$\frac{1}{2}×8|p| = 4|p|$。
因为$\triangle ABC$与$\triangle ABP$的面积相等，
所以$4|p| = 8$，
解得$p = 2$(舍去)或$p = -2$，
所以点$P$坐标为$(-2,-6)$。

7. 如图1，某客运站内出入口设有上、下行自动扶梯和步行楼梯，嘉淇和爸爸从站内二层扶梯口同时下行去一层出口，爸爸乘自动扶梯，嘉淇走步行楼梯. 爸爸离一层出口地面的高度$h$（单位：$m$）与下行时间$x$（单位：$s$）之间具有函数关系$h=-\frac{2}{5}x + 6$；嘉淇离一层出口地面的高度$y$（单位：$m$）与下行时间$x$（单位：$s$）的函数关系如图2所示.
（1）如图2，求$y$关于$x$的函数表达式；
（2）求爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面时，嘉淇离一层出口地面的高度.

答案： 解：
(1)由图象可知，$y$是$x$的一次函数，
设$y$关于$x$的函数表达式是$y = kx + b$。
由图象可得$\begin{cases}b = 6\\10k + b = 3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{10}\\b = 6\end{cases}$，
所以$y$关于$x$的函数表达式为$y = -\frac{3}{10}x + 6$。
(2)在$h = -\frac{2}{5}x + 6$中，令$h = 0$，得$x = 15$，
所以爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面的时间是$15\ s$。
在$y = -\frac{3}{10}x + 6$中，令$x = 15$，得$y = \frac{3}{2}$，
所以爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面时，嘉淇离一层出口地面的高度为$\frac{3}{2}\ m$。