《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

15. 如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB = 106°，∠ABC的平分线BE与外角∠CAF的平分线AD交于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H.
(1)求∠AEB的度数；
(2)若AB + BD = 16，AC = 6，且S△ACE = 12，求△ABD的面积.

答案：
解:
(1)因为BE，AD分别平分∠ABC和∠CAF.
　　所以∠FBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FAE=$\frac{1}{2}$∠CAF.
　　因为∠FAE=∠FBE+∠AEB，∠CAF=∠ABC+∠ACB，所以∠FBE+∠AEB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB).
　　所以∠AEB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×106°=53°. 
(2)如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N.
　　因为BE，AD分别平分∠ABC和∠CAF，所以EM = EH，EM = EN，所以EM = EH = EN.
　　因为S△ACE=$\frac{1}{2}$AC·EN=$\frac{1}{2}$×6EN = 12，所以EN = 4，所以EM = EH = 4.
　　所以S△ABD=S△ABE+S△BDE=$\frac{1}{2}$AB·EM+$\frac{1}{2}$BD·EH = 2AB + 2BD = 2(AB + BD)=2×16 = 32.

16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 20，D是BC上一点.
(1)如图1，若DE垂直平分AB，交AB于点E，且CD = 15，求BC的长；
(2)如图2，连接AD，若AD平分∠BAC，且AB = 52，求CD的长.

答案：
解:
(1)如图1，连接AD.
　　因为∠ACB = 90°，AC = 20，CD = 15，所以AD=$\sqrt{20^{2}+15^{2}}$ = 25.
　　因为DE垂直平分AB，所以AD = BD = 25，所以BC = 15 + 25 = 40.
　　　
(2)如图2，过点D作DF⊥AB于点F.
　　因为∠ACB = 90°，AC = 20，AB = 52，所以BC=$\sqrt{52^{2}-20^{2}}$ = 48.
　　因为AD平分∠BAC，所以CD = DF.
　　设CD = x，则DF = x，BD = 48 - x.
　　因为AD = AD，CD = FD，所以Rt△CAD≌Rt△FAD(HL)，所以AF = AC = 20，所以BF = 52 - 20 = 32.
　　在Rt△BDF中，BD²=DF²+BF²，所以(48 - x)²=x²+32²，解得x=$\frac{40}{3}$.
　　所以CD的长为$\frac{40}{3}$.