《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

1. 如图，在四边形ABCD中，∠B = 90°，DC//AB，AC平分∠BAD，且∠BAD = 30°. 求证：AD = 2BC.

答案：
证明：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.

∵∠B = 90°，CE⊥AD，
∴∠B = ∠E = 90°.
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB = ∠CAE.
在△CAB和△CAE中，
∵∠B = ∠E，∠CAB = ∠CAE，AC = AC，
∴△CAB≌△CAE(AAS)，
∴CB = CE.
∵DC//AB，∠BAD = 30°，
∴∠CDE = 30°，
∴CD = 2CE = 2BC.
∵DC//AB，
∴∠DCA = ∠CAB = ∠CAE，
∴AD = CD，
∴AD = 2BC.

2. 如图，在四边形ABCD中，∠A = 30°，∠B = 90°，∠ADC = 120°，若CB = 2，AD = 8，求CD的长.

答案：
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F.

∵DE⊥AB，CF⊥DE，∠B = 90°，
∴CF//AB，DE//CB，
∴EF = CB = 2.
∵DE⊥AB，∠A = 30°，AD = 8，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD = 4，∠ADE = 60°.
∵∠ADC = 120°，
∴∠CDF = 60°，
∴∠DCF = 30°，
∴CD = 2DF.
∵EF = 2，DE = 4，
∴DF = 2，
∴CD = 4.

3. 如图，在四边形ABCD中，∠A = 30°，∠B = 90°，∠ADC = 120°，若CB = m，AD = n，求CD的长.

答案：
解：如图，分别延长AD，BC相交于点E
.
∵∠A = 30°，∠B = 90°，
∴∠E = 60°，AE = 2BE.
∵∠ADC = 120°，
∴∠CDE = 60°，
∴∠DCE = ∠CDE = ∠E = 60°，
∴CD = DE = EC.
设CD = x，则n + x = 2(m + x)，
解得x = n - 2m.
∴CD的长为n - 2m.