《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

6. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x + 4y = 20\\ax + by = 1\end{cases}$与$\begin{cases}2x - y = 5\\bx + ay = 6\end{cases}$有相同的解,则$a + b =$____.

答案： 1

10. 已知$m$为正整数,且二元一次方程组$\begin{cases}mx + 2y = 10\\3x - 2y = 0\end{cases}$有整数解,则$m$的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 7

答案： B

11. 无论$a$取何值,关于$x,y$的二元一次方程$(2a - 1)x + (a + 2)y + 5 - 2a = 0$总有一个公共解,这个公共解是__________.

答案： $\begin{cases}x = \frac{9}{5},\\y = - \frac{8}{5}\end{cases}$

12. 若关于$x,y$的两个方程组$\begin{cases}2x - y = b\\x - y = a\end{cases}$与$\begin{cases}3x - 2y = b + 1\\3y - 5x = a - 8\end{cases}$有相同的解,求$(2a - b)^{-2024}$的值.

答案： 解：方程组$\begin{cases}2x - y = b,①\\x - y = a,②\end{cases}$
① - ②，得$x = b - a$，
代入①，得$2(b - a) - y = b$，即$y = b - 2a$.
方程组$\begin{cases}2x - y = b,\\x - y = a\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = b - a,\\y = b - 2a.\end{cases}$代入$\begin{cases}3x - 2y = b + 1,\\3y - 5x = a - 8,\end{cases}$
得$\begin{cases}3(b - a) - 2(b - 2a) = b + 1,\\3(b - 2a) - 5(b - a) = a - 8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 3.\end{cases}$
所以$(2a - b)^{-2024}=(2×1 - 3)^{-2024}=( - 1)^{-2024}=1$.

13. 模型观念 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x - y = 1 + 2m,①\\mx + 2y = 1 + m.②\end{cases}$
(1)当$x = 3$时,求$m$的值;
(2)将方程①和方程②左右两边分别对应相加,得到一个新的方程,当$m$每取一个值时,就有一个确定的方程,而这些方程总有一个公共解,求这个公共解.

答案： 解：
(1)①×2 + ②，得$(m + 2)x = 5m + 3$，
把$x = 3$代入，得$3m + 6 = 5m + 3$，
解得$m = \frac{3}{2}$.
(2)① + ②，得$(m + 1)x + y = 3m + 2$，
整理，得$m(x - 3)+x + y - 2 = 0$，
当$x = 3$时，方程与$m$的取值无关，
此时$y = - 1$，
则这个公共解为$\begin{cases}x = 3,\\y = - 1.\end{cases}$

14. 解答下列各题：
(1)若方程$m(1 - x) = x + 3$与方程$2 - x = x + 4$的解相同,求$m$的值;
(2)在(1)的条件下,求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x + 2m = -y\\2x + 2y = m - 1\end{cases}$的解;
(3)善于研究的小益同学发现,无论$m$取何值,(2)中方程组的解$x$与$y$之间都满足一个关系式,求这个关系式.

答案： 解：
(1)一元一次方程$2 - x = x + 4$的解为$x = - 1$，
将$x = - 1$代入方程$m(1 - x)=x + 3$，得$m[1 - ( - 1)] = - 1 + 3$，
解得$m = 1$，
所以$m$的值为 1.
(2)将$m = 1$代入原方程，
得$\begin{cases}3x + 2 = - y,\\2x + 2y = 1 - 1,\end{cases}$
即$\begin{cases}3x + y = - 2,①\\x + y = 0,②\end{cases}$
① - ②，得$x = - 1$，
将$x = - 1$代入②，得$- 1 + y = 0$，
解得$y = 1$.
所以关于$x,y$的方程组的解为$\begin{cases}x = - 1,\\y = 1.\end{cases}$
(3)原方程组可变形为$\begin{cases}3x + y = - 2m,①\\2x + 2y = m - 1,②\end{cases}$
① + ②×2，得$7x + 5y = - 2$，
所以无论$m$取何值，
(2)中方程组的解$x$与$y$之间都满足一个关系式是$7x + 5y = - 2$.