《2025年考出好成绩七年级数学下册鲁教版》

10. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB = AD，求证：∠1 = ∠2.

答案： 证明：\(\because AB\perp BC,AD\perp DC\)， \(\therefore \angle B=\angle D = 90^{\circ}\)， \(\therefore \triangle ABC\) 与 \(\triangle ADC\) 为直角三角形. 在 \(Rt\triangle ABC\) 和 \(Rt\triangle ADC\) 中， \(\because AB = AD,AC = AC\)， \(\therefore Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADC(HL)\)， \(\therefore \angle 1=\angle 2\).

11. 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C = ∠C' = 90°，AC = A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD = A'D'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.

答案： 证明：在 \(Rt\triangle ACD\) 和 \(Rt\triangle A'C'D'\) 中， \(\because AC = A'C',AD = A'D'\)， \(\therefore Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle A'C'D'(HL)\)， \(\therefore CD = C'D'\). \(\because AD\) 与 \(A'D'\) 分别为 \(BC,B'C'\) 边上的中线， \(\therefore CB = 2CD,C'B' = 2C'D'\)， \(\therefore CB = C'B'\). 在 \(Rt\triangle ABC\) 和 \(Rt\triangle A'B'C'\) 中， \(\because AC = A'C',\angle C=\angle C' = 90^{\circ},CB = C'B'\)， \(\therefore Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle A'B'C'(SAS)\). 

12. 推理能力 如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD = OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由.

答案： 解：\(\triangle ADO\cong \triangle AEO,\triangle DOC\cong \triangle EOB,\triangle COM\cong \triangle BOM,\triangle ACM\cong \triangle ABM,\triangle ADB\cong \triangle AEC,\triangle BCE\cong \triangle CBD\). 理由如下： \(\because \triangle ABC\) 的高 \(BD\) 与 \(CE\) 相交于点 \(O\)， \(\therefore \angle ADO=\angle AEO = 90^{\circ}\). 在 \(Rt\triangle ADO\) 和 \(Rt\triangle AEO\) 中， \(\because OA = OA,OD = OE\)， \(\therefore Rt\triangle ADO\cong Rt\triangle AEO(HL)\)， \(\therefore \angle DAO=\angle EAO,AD = AE\). 在 \(\triangle DOC\) 和 \(\triangle EOB\) 中， \(\because \angle ODC=\angle OEB = 90^{\circ},OD = OE,\angle DOC=\angle BOE\)， \(\therefore \triangle DOC\cong \triangle EOB(ASA)\)， \(\therefore DC = EB,OC = OB\)， \(\therefore DC + AD = EB + AE\)，即 \(AC = AB\). \(\because \angle DAO=\angle EAO\)， \(\therefore AM\perp BC,CM = BM\)， \(\therefore \angle OMC=\angle OMB = 90^{\circ}\). 在 \(Rt\triangle COM\) 和 \(Rt\triangle BOM\) 中， \(\because OC = OB,OM = OM\)， \(\therefore Rt\triangle COM\cong Rt\triangle BOM(HL)\). 在 \(Rt\triangle ACM\) 和 \(Rt\triangle ABM\) 中， \(\because AC = AB,AM = AM\)， \(\therefore Rt\triangle ACM\cong Rt\triangle ABM(HL)\). 在 \(\triangle ADB\) 和 \(\triangle AEC\) 中， \(\because AD = AE,\angle DAB=\angle EAC,AB = AC\)， \(\therefore \triangle ADB\cong \triangle AEC(SAS)\). 在 \(Rt\triangle BCE\) 和 \(Rt\triangle CBD\) 中， \(\because BC = CB,BE = CD\)， \(\therefore Rt\triangle BCE\cong Rt\triangle CBD(HL)\).