《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

22.[答案含评分细则](2024广西南宁三美学校三模)(8分)美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园、广场都安装有绿地喷淋系统.现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似地看成抛物线，点A、M在抛物线上，A为出水口，M为水流与地面的交点.如图2，水流距离地面的高度y(单位：m)与水流距离出水口的水平距离x(单位：m)之间具有函数关系y = -$\frac{1}{3}$(x - 1)² + $\frac{3}{4}$.
(1)自动喷水装置喷水口距离地面的高度OA = _______m.
(2)如图1，该自动喷水装置能旋转240°，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积(结果保留π).
(3)如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为保障行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理.

答案：
解析：
(1)$\frac{5}{12}$。
(2)当 y = 0 时，-$\frac{1}{3}(x - 1)^{2}+\frac{3}{4}=0$，解得 x = $\frac{5}{2}$或 x = -$\frac{1}{2}$（舍去），所以$\frac{240×2.5^{2}π}{360}=\frac{25}{6}π$（m²）。 答：它能喷灌的草坪面积为$\frac{25}{6}π$ m²。
(3)如图，连接 BC，过 O 作 OD ⊥ BC 于点 D，则 BD = CD，∠BOD = ∠COD = $\frac{360° - 240°}{2}=60°$，在 Rt△OBD 中，cos∠BOD = $\frac{OD}{OB}$，所以 OD = OB·cos∠BOD = $\frac{5}{2}×\frac{1}{2}=1.25$（m）＞ 1 m，所以喷水装置安装位置不合理。

23.[答案含评分细则](10分)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为$\overset{\frown}{BDE}$的中点，连接AD交BC于点F，若AC = FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线.
(2)若BF = 8，DF = 2$\sqrt{10}$，求⊙O的半径.
(3)若∠ADB = 60°，BD = 1，求阴影部分的面积.(结果保留π)

答案：
解析：
(1)证明：连接 OA、OD，如图， 因为 D 为$\overset{\frown}{BDE}$的中点，所以 OD ⊥ BE，所以∠ODF + ∠OFD = 90°。 因为 CA = CF，所以∠CAF = ∠CFA。又∠CFA = ∠OFD，所以∠OFD = ∠CAF。所以∠ODF + ∠CAF = 90°。 因为 OA = OD，所以∠ODA = ∠OAD，所以∠OAD + ∠CAF = 90°，即∠OAC = 90°，所以 OA ⊥ AC，又 OA 是半径，所以 AC 是⊙O 的切线。

(2)设⊙O 的半径为 r，则 OF = 8 - r，在 Rt△ODF 中，DF = 2$\sqrt{10}$，所以(8 - r)² + r² = (2$\sqrt{10}$)²，解得 r₁ = 6，r₂ = 2（舍去），所以⊙O 的半径为 6。
(3)因为∠BOD = 90°，OB = OD，所以△BOD 为等腰直角三角形，因为 BD = 1，所以 OB = $\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 OA = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为∠ADB = 60°，所以∠AOB = 2∠ADB = 120°，所以∠AOE = 60°，在 Rt△OAC 中，AC = $\sqrt{3}OA=\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以阴影部分的面积 = $\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{60·π·(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}{360}=\frac{3\sqrt{3}-π}{12}$。