《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.如图,PA,PB与⊙O分别相切于点A,B,PA = 2,∠P = 60°,则AB = (M9224010) ( )

A.$\sqrt{3}$
B.2
C.2$\sqrt{3}$
D.3

答案： B 因为PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，所以PA = PB，又因为∠P = 60°，所以△PAB是等边三角形，所以AB = AP = 2. 故选B.

2.(2024广西南宁第十八中学月考)如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,连接OP交⊙O于C,下列结论不一定正确的是(M9224010) ( )

A.∠1 = ∠2
B.PA = PB
C.AB⊥OP
D.OC = PC

答案： D 由切线长定理，得∠1 = ∠2，PA = PB，从而AB⊥OP，因此A、B、C中结论正确，无法得出OC = PC，D中结论不一定正确，故选D.

3.如图,AB,AC,BD是⊙O的切线,P,C,D为切点,若AB = 10,AC = 7,则BD的长为________.

答案： 答案 3 解析 因为AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，所以AC = AP，BD = BP. 因为AB = 10，AC = 7，所以BD = BP = 10 - 7 = 3.

4.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,切点分别为A,B,连接OA,AB,若∠OAB = 35°,则∠ABP = ________°. (M9224010)

答案： 答案 55 解析 因为PA，PB是⊙O的两条切线，所以PA = PB，OA⊥PA. 因为∠OAB = 35°，所以∠BAP = 90° - ∠OAB = 55°. 因为PA = PB，所以∠ABP = ∠BAP = 55°.

5.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC = 90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.求证:∠ADE = ∠ABD. (M9224010)

答案： 证明 因为∠ABC = 90°，所以OB⊥BC. 因为OB是⊙O的半径，所以CB为⊙O的切线. 又因为CD切⊙O于点D，所以BC = CD，所以∠CDB = ∠CBD. 因为BE是⊙O的直径，所以∠BDE = 90°. 所以∠ADE + ∠CDB = 90°. 因为∠ABC = 90°，所以∠ABD + ∠CBD = 90°. 所以∠ADE = ∠ABD.

6.(2024四川泸州中考,9,★★☆)如图,EA,ED是⊙O的切线,切点为A,D,点B,C在⊙O上,若∠BAE+∠BCD = 236°,则∠E = ( )

A.56°
B.60°
C.68°
D.70°

答案：
C 连接AD，如图. 因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠BCD + ∠BAD = 180°. 又因为∠BAE + ∠BCD = 236°，所以∠DAE = 236° - 180° = 56°. 因为EA，ED是⊙O的切线，所以AE = DE，所以∠EDA = ∠EAD = 56°，所以∠E = 180° - 2×56° = 68°，故选C.

7.(2024广东广州广雅中学二模,14,★★☆)如图,圆O与正方形ABCD的两边AB,AD相切,且DE与圆O相切于E点.若圆O的半径为2,且AB = 6,则DE的长度为________.

答案：
答案 4 解析 如图，设⊙O与正方形ABCD的边AD，AB切于点F，H，连接OH，OF，OE，则∠OFD = ∠OFA = ∠OHA = 90°. 因为四边形ABCD是正方形，所以∠A = 90°，AD = AB = 6，又因为OH = OF，所以四边形AHOF是正方形. 因为⊙O的半径为2，所以OF = AF = OH = 2，所以DF = AD - AF = 6 - 2 = 4. 因为DE与⊙O相切于点E，所以DE = DF = 4.

8.(2023河北冀州中学模拟,23,★★☆)图1是一种简易三分角器的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等,DB与AC垂直,垂足为点B,DB足够长.使用方法如图2所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.
(1)请根据题意写出已知和求证.
(2)请证明这一方法的正确性.

答案： 解析 （1）已知：在题图2中，点A，B，O，C在同一直线上，AB = OB = OC，EB⊥AC，垂足为点B，半圆O与EN相切于点F，点A在射线EM上. 求证：∠1 = ∠2 = ∠3. （2）证明：因为EB⊥AC，所以∠ABE = ∠OBE = 90°. 又因为AB = OB，BE = BE，所以△ABE≌△OBE（SAS）. 所以∠1 = ∠2. 因为BE⊥OB，OB为半圆O的半径，所以BE是半圆O的切线. 因为EN切半圆O于F，所以∠2 = ∠3，所以∠1 = ∠2 = ∠3.