《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

18.(2024广西河池宜州期末,18,★★☆)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB = 30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为8,则GE + FH的最大值为_______.

答案： 答案：12 解析：连接OA、OB（图略），因为$\angle ACB = 30^{\circ}$，所以$\angle AOB = 2\angle ACB = 60^{\circ}$。因为$OA = OB$，所以$\triangle AOB$为等边三角形。因为$\odot O$的半径为8，所以$AB = OA = OB = 8$。 因为点E，F分别是AC、BC的中点，所以$EF=\frac{1}{2}AB = 4$，要求$GE + FH$的最大值，即求$GE + FH+EF$（弦GH）的最大值，当弦GH是圆的直径时，它的值最大，最大值为$8\times2 = 16$，所以$GE + FH$的最大值为$16 - 4 = 12$。

19.定边定角型问题 (2023河南郑州郑东新区春华学校期末,14,★★☆)如图,已知线段AB = 4,动点P满足∠APB = 45°,C、D分别是线段AB、BP的中点,则线段CD长度的最大值为_______.

答案：
答案：$2\sqrt{2}$ 解析：因为C、D分别是线段AB、BP的中点，所以$CD=\frac{1}{2}AP$，所以当AP长度最大时，CD的长度最大。因为线段$AB = 4$，动点P满足$\angle APB = 45^{\circ}$，所以点P在以AB为弦，圆周角$\angle APB = 45^{\circ}$的圆上运动（如图），当$AP'$为圆的直径时，$AP'$长度最大，此时$\angle ABP' = 90^{\circ}$，所以$AP'=\sqrt{2}AB = 4\sqrt{2}$，所以线段CD长度的最大值为$2\sqrt{2}$。

20.(2024安徽太和一模,19,★★☆)如图,C为⊙O上一点,直径AB = 26,∠ACB的平分线交⊙O于点D,交AB于点E,连接AD,BD.(M9224007)
(1)求BD的长.
(2)若AC = 10,求CD的长.

答案：
解析：（1）如图，连接OD， 因为AB是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。 因为CD是$\angle ACB$的平分线， 所以$\angle ACD=\angle BCD = 45^{\circ}$， 所以$\angle BOD = 2\angle BCD = 90^{\circ}$。 在$Rt\triangle BOD$中，$OB = OD=\frac{1}{2}AB = 13$， 所以$BD=\sqrt{2}OB = 13\sqrt{2}$。 （2）在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 10$，$AB = 26$， 所以$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = 24$。 如图，过点B作$BM\perp CD$，垂足为M， 在$Rt\triangle BCM$中，$\angle BCM = 45^{\circ}$，$BC = 24$， 所以$CM = BM=\frac{\sqrt{2}}{2}BC = 12\sqrt{2}$。 在$Rt\triangle BDM$中，$BD = 13\sqrt{2}$，$BM = 12\sqrt{2}$， 所以$DM=\sqrt{BD^{2}-BM^{2}} = 5\sqrt{2}$， 所以$CD = CM + DM = 17\sqrt{2}$。

21.教材变式.P29T3(2023湖北武汉中考,20,)如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC.(M9224007)(1)求证:∠AOB=2∠BOC.(2)若AB=4,BC=$\sqrt 5$,求⊙O的半径

答案： 解析
(1)证明;
∵ ∠ACB= $\frac{1}{2}$ ∠AOB,∠BAC=$\frac{1}{2}$ ∠BOC,∠ACB=2∠BAC,
∴ ∠A0B=2∠B0C
(2)如图,过点O作半径OD⊥AB于点E,连接DB,
∴ AE=BE,∠DOB= $\frac{1}{2}$ ∠AOB,
∵ ∠A0B=2∠BOC,
∴ ∠DOB=∠BOC.
∴ BD=BC.
∵ AB=4,BC= $\sqrt{5}$ 
∴ BE=2,BD= $\sqrt{5}$ ,
∵ 在Rt△BDE中,∠DEB=90°,
∴ DE= $\sqrt{BD²−BE²}$ =1,
∵ 在Rtt△BOE中,∠OEB=90°,
∴ OB²=(OB−1)²+2²,解得OB= $\frac{5}{2}$ ,即⊙0的半径是 $\frac{5}{2}$

1.(2024四川宜宾中考)如图,AB是⊙O的直径,若∠CDB = 60°,则∠ABC的度数等于 （ ）


A.30°
B.45°
C.60°
D.90°

答案： A：因为AB是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$，因为$\angle CDB = 60^{\circ}$，所以$\angle A=\angle CDB = 60^{\circ}$，所以$\angle ABC = 90^{\circ}-\angle A = 30^{\circ}$，故选A。

2.(2023浙江温州中考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC//AD,AC⊥BD.若∠AOD = 120°,AD = $\sqrt{3}$,则∠CAO的度数与BC的长分别为 （ ）

A.10°,1
B.10°,$\sqrt{2}$
C.15°,1
D.15°,$\sqrt{2}$

答案：
C：如图，连接OB，OC，因为$BC// AD$，所以$\angle DBC=\angle ADB$，所以$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，所以$\angle AOB=\angle COD$，$\angle CAD=\angle BDA$，因为$DB\perp AC$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$，所以$\angle CAD=\angle BDA = 45^{\circ}$，所以$\angle AOB = 2\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle COD = 2\angle CAD = 90^{\circ}$。因为$\angle AOD = 120^{\circ}$，所以$\angle BOC = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。因为$OB = OC$，所以$\triangle OBC$是等边三角形，所以$BC = OB$。因为$OA = OD$，$\angle AOD = 120^{\circ}$，所以$\angle OAD=\angle ODA = 30^{\circ}$，因为$AD=\sqrt{3}$，所以$OA = 1$，所以$BC = 1$，所以$\angle CAO=\angle CAD-\angle OAD = 45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$。故选C。