《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.(2024安徽利辛开学测)如图,已知AB是⊙O的直径,AC平分∠DAB交⊙O于点C,过点C作CD⊥AD于点D.求证:直线CD是⊙O的切线.

答案：
证明：如图，连接$OC$。因为$OA = OC$，所以$\angle OAC = \angle OCA$。因为$AC$平分$\angle DAB$，所以$\angle OAC = \angle DAC$，所以$\angle OCA = \angle DAC$，所以$OC// AD$。又因为$AD\perp CD$，所以$OC\perp CD$，因为$OC$是$\odot O$的半径，所以直线$CD$是$\odot O$的切线。

2.(2021湖南常德中考节选)如图,在Rt△ABC中,∠ABC = 90°,以AB的中点O为圆心,AB为直径的圆交AC于D,E是BC的中点,直线DE交BA的延长线于F.求证:FE是圆O的切线.

答案：
证明：连接$OD$，如图。因为$AB$为直径，所以$\angle ADB = \angle BDC = 90^{\circ}$，因为$E$是$BC$的中点，所以$DE=\frac{1}{2}BC = BE = EC$，所以$\angle EDC = \angle ECD$。又因为$\angle ECD+\angle CBD = 90^{\circ}$，$\angle ABD+\angle CBD = 90^{\circ}$，所以$\angle ECD = \angle ABD$，所以$\angle EDC = \angle ABD$。因为$OB = OD$，所以$\angle ODB = \angle OBD$，所以$\angle EDC = \angle ODB$，所以$\angle ODB+\angle BDE = \angle EDC+\angle BDE = 90^{\circ}$，即$\angle ODE = 90^{\circ}$。因为$OD$为$\odot O$的半径，所以$FE$是圆$O$的切线。

3.(2024广西防城港防城期末)已知P是⊙O外一点,PO交⊙O于点C,OC = CP = 2,弦AB⊥OC,∠AOC的度数为60°,连接PB、BC.
(1)求BC的长.
(2)求证:PB是⊙O的切线.

答案：
解析\n（1）如图，连接$OB$。因为$AB\perp OC$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，因为$\angle AOC = 60^{\circ}$，所以$\angle BOC = 60^{\circ}$。因为$OB = OC$，所以$\triangle OBC$为等边三角形，所以$BC = OC$。因为$OC = 2$，所以$BC = 2$。\n（2）证明：由（1）知，$\triangle OBC$为等边三角形，所以$\angle OBC = 60^{\circ}$。因为$OC = CP$，所以$BC = PC$，所以$\angle P = \angle CBP$，所以$\angle OCB = 2\angle P$，因为$\angle OCB = 60^{\circ}$，所以$\angle P = \angle CBP = 30^{\circ}$，所以$\angle OBP = \angle OBC+\angle CBP = 90^{\circ}$，即$OB\perp PB$，因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$PB$是$\odot O$的切线。

4.(2024安徽六安阶段练习节选)如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,DA切⊙O于点A,连接DO,过点B作BC//DO,与⊙O交于点C,连接DC.求证:DC是⊙O的切线.

答案：
证明：如图，连接$OC$。因为$DA$是$\odot O$的切线，所以$OA\perp AD$。因为$BC// DO$，所以$\angle AOD = \angle OBC$，$\angle COD = \angle OCB$，因为$OB = OC$，所以$\angle OCB = \angle OBC$，所以$\angle AOD = \angle COD$。在$\triangle AOD$和$\triangle COD$中，$\begin{cases}OA = OC\\\angle AOD = \angle COD\\OD = OD\end{cases}$，所以$\triangle AOD\cong\triangle COD$，所以$\angle OCD = \angle OAD = 90^{\circ}$，因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$DC$是$\odot O$的切线。