《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

15.(2024安徽芜湖二模,13,★★☆)如图,☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,且AB = 3,BC = 5,AC = 4,则CD = ________.

答案： $\sqrt{17}$。解析：因为$\odot O$内切于$\triangle ABC$，切点分别为$D$，$E$，$F$，所以$CF = CE$，$BD = BE$，$AF = AD$，所以$CF + BD = CE + BE = BC = 5$。所以$AC + AB = AF + CF + BD + AD = 2AD + 5 = 4 + 3 = 7$，所以$AD = 1$。因为$AB^{2}+AC^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$BC^{2}=5^{2}=25$，所以$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle A = 90^{\circ}$，所以$CD=\sqrt{AC^{2}+AD^{2}}=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}$。

16.情境题·数学文化 (2022四川宜宾中考,17,★★☆)我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为________.

答案：
289。解析：如图，设内切圆的圆心为$O$，$D$、$E$分别为$\odot O$与$BC$、$AC$的切点，连接$OE$、$OD$，则四边形$EODC$为正方形，所以$OE = OD = 3=\frac{AC + BC - BA}{2}$，所以$AC + BC - AB = 6$，所以$AC + BC = AB + 6$，所以$(AC + BC)^{2}=(AB + 6)^{2}$，所以$BC^{2}+AC^{2}+2BC\cdot AC = AB^{2}+12AB + 36$，又$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，所以$2BC\cdot AC = 12AB + 36$①，因为小正方形的面积为49，所以$(BC - AC)^{2}=49$，所以$BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC = 49$，即$AB^{2}-2BC\cdot AC = 49$②，把①代入②，得$AB^{2}-12AB - 85 = 0$，所以$(AB - 17)(AB + 5)=0$，所以$AB = 17$（负值已舍去），所以大正方形的面积为289。

17.(2024江苏无锡仓下中学月考,23,★★☆)请仅用无刻度的直尺作图.
(1)如图1,△ABC是☉O的内接三角形,点P是☉O上一点,且$\overset{\frown}{BP}$ = $\overset{\frown}{CP}$.画出△ABC中∠BAC的平分线.
(2)如图2,△ABC是☉O的内接三角形,D是BC的中点.画出△ABC中∠BAC的平分线.
(3)如图3,☉O为△ABC的外接圆,BC是非直径的弦,D是BC的中点,E是弦AB上一点,且DE//AC,请画出△ABC的内心I.

答案：
解析：
(1)如图1，连接$AP$，$AP$即为所求作。理由：因为$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$，所以$\angle BAP=\angle CAP$，所以$AP$是$\angle BAC$的平分线。
(2)如图2，连接$OD$并延长交$\odot O$于$E$，连接$AE$，$AE$即为所求作。理由：因为$D$为$BC$的中点，$OE$为半径，所以$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，所以$\angle BAE=\angle CAE$，所以$AE$是$\angle BAC$的平分线。
(3)如图3，连接$OD$并延长交$\odot O$于点$F$，连接$OE$并延长交$\odot O$于点$G$，连接$AF$，$CG$，则$AF$、$CG$的交点$I$即为所求作。理由：因为$D$为$BC$的中点，$DE// AC$，所以$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{CD}=1$，即$BE = AE$，所以$E$为$AB$的中点，由
(2)可知，$AF$是$\angle BAC$的平分线，$CG$是$\angle ACB$的平分线，所以点$I$是$\triangle ABC$的内心。

18.(2024山东烟台中考,23,★★☆)如图,AB是☉O的直径,△ABC内接于☉O,点I为△ABC的内心,连接CI并延长交☉O于点D.E是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点,连接AD,BD,BE,CE.
(1)若∠ABC = 25°,求∠CEB的度数.
(2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明.
(3)若CI = 2$\sqrt{2}$,DI = $\frac{13}{2}\sqrt{2}$,求△ABC的周长.

答案：
解析：
(1)因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$，又$\angle ABC = 25^{\circ}$，所以$\angle CAB = 90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$。因为四边形$ABEC$是$\odot O$的内接四边形，所以$\angle CEB+\angle CAB = 180^{\circ}$，所以$\angle CEB = 180^{\circ}-\angle CAB = 115^{\circ}$。
(2)$DI = AD = BD$。证明：如图，连接$AI$，因为点$I$为$\triangle ABC$的内心，所以$\angle CAI=\angle BAI$，$\angle ACI=\angle BCI=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$\angle DAB=\angle DCB=\angle ACI$，$AD = BD$，因为$\angle DAI=\angle DAB+\angle BAI$，$\angle DIA=\angle ACI+\angle CAI$，所以$\angle DAI=\angle DIA$，所以$DI = AD = BD$。
(3)如图，过$I$分别作$IQ\perp AB$，$IF\perp AC$，$IP\perp BC$，垂足分别为$Q$，$F$，$P$，因为点$I$为$\triangle ABC$的内心，即为$\triangle ABC$的内切圆的圆心，所以$Q$，$F$，$P$分别为该内切圆与$\triangle ABC$三边的切点，所以$AQ = AF$，$CF = CP$，$BQ = BP$。因为$CI = 2\sqrt{2}$，$\angle IFC = 90^{\circ}$，$\angle ACI = 45^{\circ}$，所以$CF = CI\cdot\cos45^{\circ}=2 = CP$。因为$DI = AD = BD$，$DI=\frac{13}{2}\sqrt{2}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}} = 13$，所以$\triangle ABC$的周长为$AB + AC + BC=AB + AF + CF + CP + BP=AB + AQ + 2CF + BQ=2AB + 2CF=2\times13 + 2\times2 = 30$。