《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

18.(6分)如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，MN是⊙O的弦，且经过正方形ABCD的边AD，CD的中点E，F，若MN = 12$\sqrt{3}$，求⊙O的半径长.

答案：
解析 如图，连接OE，OF，OD，OM，ON，OD交MN于点G，

∵E，F分别为DA，DC的中点，
∴OE⊥AD，OF⊥CD，DE = $\frac{1}{2}AD$，DF = $\frac{1}{2}DC$，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC = 90°，AD = CD，
∴四边形OEDF是矩形，DE = DF，
∴四边形OEDF是正方形，
∴OG = $\frac{1}{2}OD$，OG⊥MN，
∴MG = $\frac{1}{2}MN = 6\sqrt{3}$。设⊙O的半径为r，由勾股定理，得OG² + MG² = OM²，即$(\frac{1}{2}r)^{2}+(6\sqrt{3})^{2}=r^{2}$，解得r = 12（负值已舍去），即⊙O的半径长为12。

19.(安徽常考·网格作图题)(2023安徽蚌埠龙子湖二模)(6分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2)，B(0,4)，C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A₁B₁C；平移△ABC，若A的对应点A₂的坐标为(0,-4)，画出平移后的△A₂B₂C₂.
(2)若将△A₁B₁C绕某一点P旋转可以得到△A₂B₂C₂，请直接写出旋转中心P点的坐标.

答案：
解析 （1）如图，△A₁B₁C即为所求，△A₂B₂C₂即为所求。

（2）如图，P点的坐标为$(\frac{3}{2}, - 1)$。

20.(跨历史·石拱桥)(2022湖北宜昌中考)(6分)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶，隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图所示的是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为$\overset{\frown}{AB}$，桥的跨度(弧所对的弦长)AB = 26 m，设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D，拱高(弧的中点到弦的距离)CD = 5 m，连接OB.
(1)直接判断AD与BD的数量关系.
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m).

答案： 解析 （1）AD = BD。 （2）设主桥拱的半径为R m，
∵AB = 26 m，CD = 5 m，
∴BD = $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×26 = 13$ m，OD = OC - CD = (R - 5) m，在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB² = BD² + OD²，即R² = 13² + (R - 5)²， 解得R = 19.4，
∴R≈19， 因此，这座石拱桥的主桥拱的半径约为19 m。

21.(2023浙江杭州中泰中学月考)(6分)如图，已知等腰直角△ABC，P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径.
(1)求证：△APE是等腰直角三角形.
(2)若PC = 2，PB = 4，求PE的长.

答案： 解析 （1）证明：
∵AB = AC，∠BAC = 90°，
∴∠C = ∠ABC = 45°，
∴∠AEP = ∠ABP = 45°，
∵PE是直径，
∴∠PAE = 90°，
∴∠APE = ∠AEP = 45°，
∴AP = AE，
∴△PAE是等腰直角三角形。 （2）
∵∠CAB = ∠PAE = 90°，
∴∠CAP = ∠BAE， 又AC = AB，AP = AE，
∴△CAP≌△BAE(SAS)，
∴PC = EB， 又
∵∠PBE = 90°，
∴PE² = PB² + BE² = PB² + PC²，
∴PE² = 16 + 4 = 20，
∴PE = $2\sqrt{5}$。