《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.（2024 河南舞阳期末）定义：圆中有一公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦. 如图，AB和BC组成圆的一条折弦，AB＞BC，M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点，MF⊥AB于F，则下列结论一定成立的是（ ）

A.MF = BF
B.∠ABC = 90°
C.AF = FB + BC
D.AB = 2BC

答案：
**C** 如图，在 AB 上截取 AD = BC，连接 AM，CM，DM，BM，
∵ M 是 $\overset{\frown}{ABC}$ 的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴ AM = CM。又
∵ ∠MAD = ∠MCB，
∴ △MAD ≌ △MCB（SAS），
∴ MD = BM，
∵ MF ⊥ AB，
∴ DF = BF，
∴ AF = AD + DF = FB + BC，故 C 中结论成立，根据题目给出的条件不能说明选项 A、B、D 中结论一定成立，故选 C

2.（新考向·规律探究试题）（2024 广东韶关模拟）如图，四边形ABCD是正方形，曲线$DA_1B_1C_1D_1A_2B_2\cdots$叫做“正方形的渐开线”，其中$\overset{\frown}{DA_1}$的圆心为点A，半径为AD；$\overset{\frown}{A_1B_1}$的圆心为点B，半径为$BA_1$；$\overset{\frown}{B_1C_1}$的圆心为点C，半径为$CB_1$；$\overset{\frown}{C_1D_1}$的圆心为点D，半径为$DC_1$；…….$\overset{\frown}{DA_1}$，$\overset{\frown}{A_1B_1}$，$\overset{\frown}{B_1C_1}$，$\overset{\frown}{C_1D_1}$，…的圆心按A，B，C，D依次循环，当AB = 1时，$\overset{\frown}{A_{2024}B_{2024}}$的长是__________.

答案： **答案**：4 047π **解析**：由题图可知，曲线 DA₁B₁C₁D₁A₂B₂…是由一段段 90°的弧组成的，AA₁ = AD = 1，BB₁ = BA₁ = BA + AA₁ = 1 + 1 = 2，CC₁ = CB + BB₁ = 1 + 2 = 3，DD₁ = DC + CC₁ = 1 + 3 = 4，AA₂ = AD + DD₁ = 1 + 4 = 5，……，以此类推，每一段弧的半径等于前一段弧半径加 1，AAₙ = 4(n - 1) + 1，BAₙ = 4(n - 1) + 2，
∴ BA₂₀₂₄ = 4×(2 024 - 1) + 2 = 8 094，
∴ $\overset{\frown}{A_{2024}B_{2024}}$ 的长 = $\frac{90}{180}$×8 094π = 4 047π。

3.对于实数a、b，定义两种新运算“*”和“⊕”：$a*b=a + rb$，$a\oplus b=ra + b$（其中a、b分别为圆心在平面直角坐标系中的横、纵坐标，r为圆的半径）. 在平面直角坐标系中，⊙P的半径r = 5，且$a*b = 23$，$a\oplus b = 19$，则坐标原点在⊙P______（填“外”“内”或“上”），⊙P与x轴的位置关系是________.

答案： **答案**：上；相交 **解析**：由题意，得 $\begin{cases}a + 5b = 23 \\5a + b = 19\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = 3 \\b = 4\end{cases}$，
∴ 圆心 P 的坐标为(3, 4)，
∴ 圆心到坐标原点的距离为 $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5，
∴ 坐标原点在⊙P 上。
∵ P 到 x 轴的距离等于 4，4 ＜ 5，
∴ ⊙P 与 x 轴相交。

4.如图①，在等腰△ABC中，AB = AC，当顶角∠A的大小确定时，它的对边BC与邻边AB（或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即$T(A)=\frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}=\frac{BC}{AB}（或\frac{BC}{AC}）$，如：当∠A = 60°时，$T(60°)=1$.
（1）理解巩固：$T(90°)=$_______，$T(120°)=$_______，T(A)的值的范围是__________.
（2）学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面圆的直径PQ = 8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长.（精确到0.1. 参考数据：$T(160°)\approx1.97$，$T(80°)\approx1.29$，$T(40°)\approx0.68$）

答案：
**解析**： （1）如图 1，∠A = 90°，AB = AC，则 $\frac{BC}{AB}$ = $\sqrt{2}$，
∴ T(90°) = $\sqrt{2}$。 如图 2，∠BAC = 120°，AB = AC，过 A 作 AD ⊥ BC 于 D，则 ∠BAD = 60°，
∴ BD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴ BC = $\sqrt{3}$AB，
∴ $\frac{BC}{AB}$ = $\sqrt{3}$，即 T(120°) = $\sqrt{3}$。
∵ AB - AC ＜ BC ＜ AB + AC，
∴ 0 ＜ T(A) ＜ 2。 （2）
∵ 圆锥的底面圆的直径 PQ = 8，
∴ 圆锥的底面圆的周长为 8π，
∴ 圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 8π， 设扇形的圆心角的度数为 n°， 则 $\frac{nπ×9}{180}$ = 8π，解得 n = 160，
∵ 160°÷2 = 80°，T(80°) ≈ 1.29，
∴ 蚂蚁爬行的最短路径长为 1.29×9 ≈ 11.6。