《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

22. [答案含评分细则](8分)
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC = 130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A'B'C，连接BB'，求∠A'B'B的大小.
(2)如图2，在△ABC中，∠ABC = 150°，AB = 3，BC = 5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'B'C，连接BB'，以A'为圆心，A'B'的长为半径作圆.
①猜想：直线BB'与⊙A'的位置关系，并证明你的结论；
②连接A'B，求线段A'B的长度.

答案： 解析：（1）由旋转变换的性质可知，∠A′B′C = ∠ABC = 130°，∠BCB′ = 50°，CB = CB′，
∴ ∠CB′B = 65°，
∴ ∠A′B′B = ∠A′B′C - ∠CB′B = 65°. …… 3 分 （2）①直线 BB′与⊙A′相切. 证明：由旋转可知，∠A′B′C = ∠ABC = 150°，∠BCB′ = 60°，CB = CB′，
∴ △CBB′是等边三角形，
∴ ∠CB′B = 60°，
∴ ∠A′B′B = ∠A′B′C - ∠CB′B = 90°，
∵ A′B′为半径，
∴ 直线 BB′与⊙A′相切. …… 6 分 ②在 Rt△A′B′B 中，∠A′B′B = 90°，BB′ = BC = 5，A′B′ = AB = 3，
∴ $A′B=\sqrt{A′B′^{2}+B′B^{2}}=\sqrt{34}$. …… 8 分

23. [答案含评分细则](10分)小明学习了垂径定理后，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.
(1)如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE = BE. 请证明此结论.
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦. 如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦. C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE = PE + PB. 请写出证明过程.(提示：通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立)
(3)如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明.

答案：
解析：（1）证明：如图 1，连接 AD，BD，
∵ C 是劣弧 AB 的中点，
∴ ∠CDA = ∠CDB， …… 1 分
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED = ∠DEB = 90°，
∴ ∠A + ∠ADE = 90°，∠B + ∠CDB = 90°，
∴ ∠A = ∠B， …… 2 分
∴ △ADB 为等腰三角形，
∵ CD⊥AB，
∴ AE = BE. …… 3 分 （2）证明：如图 2，延长 DB、AP 相交于点 F，再连接 AD，
∵ 四边形 ADBP 是圆内接四边形，
∴ ∠PBF = ∠A， …… 4 分
∵ C 是劣弧 AB 的中点，
∴ ∠CDA = ∠CDF，
∵ CD⊥PA，
∴ △AFD 为等腰三角形， …… 5 分
∴ ∠F = ∠A，AE = EF，
∴ ∠PBF = ∠F，
∴ PB = PF，
∴ AE = PE + PB. …… 6 分 （3）AE = PE - PB. …… 10 分 **详解**：如图 3，连接 AD，BD，AB，DB、AP 相交于点 F，
∵ C 是优弧 AB 的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠ADC = ∠BDC，
∵ CD⊥AP，
∴ ∠DEA = ∠DEF， 又
∵ DE = DE，
∴ △DAE≌△DFE，
∴ AE = EF，∠DAF = ∠DFA，
∵ ∠DFA = ∠PFB，∠PBD = ∠DAP，
∴ ∠PFB = ∠PBF，
∴ PF = PB，
∴ AE = PE - PB.