《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.(2024广西西大附中月考)如图，在四边形$ABCD$中，$AC$，$BD$是对角线，$\triangle ABC$是等边三角形.线段$CD$绕点$C$顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段$CE$，连接$AE$，$DE$.（M9224001）
(1)求证：$\triangle BCD\cong\triangle ACE$.
(2)若$\angle ADC = 30^{\circ}$，$AD = 6$，$BD = 10$，求$DE$的长.

答案： 1. **解析**\n（1）**证明**：由旋转可知$\angle DCE = 60^{\circ}$，$CD = CE$。因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = BC$。所以$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}$，则$\angle ACB+\angle ACD=\angle DCE+\angle ACD$，即$\angle BCD=\angle ACE$。 在$\triangle BCD$和$\triangle ACE$中，$\begin{cases}BC = AC\\\angle BCD=\angle ACE\\CD = CE\end{cases}$，所以$\triangle BCD\cong\triangle ACE(SAS)$。\n（2）由（1）知$\triangle BCD\cong\triangle ACE$，所以$AE = BD = 10$。因为$\angle DCE = 60^{\circ}$，$CD = CE$，所以$\triangle CDE$是等边三角形，所以$\angle CDE = 60^{\circ}$。又因为$\angle ADC = 30^{\circ}$，所以$\angle ADE=\angle ADC+\angle CDE = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ADE$中，$DE=\sqrt{AE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$。

2.(2024浙江绍兴期中)如图1，四边形$ABCD$是正方形，$E$，$F$分别在边$BC$和$CD$上，且$\angle EAF = 45^{\circ}$，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.如图2，小明为了探究线段$EF$，$BE$，$DF$之间的关系，将$\triangle ADF$绕点$A$顺时针旋转了$90^{\circ}$.
(1)请直接写出线段$EF$，$BE$，$DF$之间的数量关系.
(2)如图3，在等腰直角三角形$ABD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AB = AD$，点$E$，$F$在边$BD$上，且$\angle EAF = 45^{\circ}$，请写出$EF$，$BE$，$DF$之间的关系，并说明理由.

答案：
2. **解析**\n（1）$EF = BE + DF$。**详解**：由旋转可得$GB = DF$，$AG = AF$，$\angle BAG=\angle DAF$，易知$G$，$B$，$E$三点在同一直线上。因为四边形$ABCD$为正方形，所以$\angle BAD = 90^{\circ}$。因为$\angle EAF = 45^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle DAF = 45^{\circ}$，所以$\angle BAG+\angle BAE = 45^{\circ}$，即$\angle GAE=\angle EAF$。在$\triangle AGE$和$\triangle AFE$中，$\begin{cases}AG = AF\\\angle GAE=\angle FAE\\AE = AE\end{cases}$，所以$\triangle AGE\cong\triangle AFE(SAS)$，所以$GE = EF$。因为$GE = GB + BE = BE + DF$，所以$EF = BE + DF$。\n（2）$EF^{2}=BE^{2}+DF^{2}$。**理由**：把$\triangle AFD$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle AE'B$，连接$EE'$，如图。 所以$BE' = FD$，$AE' = AF$，$\angle D=\angle ABE'$，$\angle FAD=\angle E'AB$。因为$AB = AD$，所以$\angle ABD=\angle ADB = 45^{\circ}$，所以$\angle ABD+\angle ABE' = 90^{\circ}$，即$\angle E'BD = 90^{\circ}$，所以$E'B^{2}+BE^{2}=E'E^{2}$。又因为$\angle FAE = 45^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle FAD = 45^{\circ}$，所以$\angle E'AB+\angle BAE = 45^{\circ}$，即$\angle E'AE = 45^{\circ}$。在$\triangle AEE'$和$\triangle AEF$中，$\begin{cases}AE = AE\\\angle E'AE=\angle FAE\\AE' = AF\end{cases}$，所以$\triangle AEE'\cong\triangle AEF(SAS)$，所以$EE' = FE$，所以$EF^{2}=BE^{2}+DF^{2}$。