《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.(2024安徽中考)若扇形AOB的半径为6，∠AOB = 120°，则$\overset{\frown}{AB}$的长为(M9224013) ( )
A.2π
B.3π
C.4π
D.6π

答案： C：$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{n\pi r}{180}=\frac{120\times\pi\times6}{180}=4\pi$，故选C。

2.情境题·劳动生产(2024广东广州南沙一模)一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是8 cm，当重物上升2π cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为(M9224013) ( )

A.60°
B.90°
C.120°
D.180°

答案： B：设旋转的角度是$n$度，根据题意得$\frac{4n\pi}{180}=2\pi$，解得$n = 90$。故选B。

3.新独家原创 如图，△ABC中，∠A = 60°，AB = 2，以点A为圆心，AC长为半径的弧交斜边AB于点D，$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{\pi}{3}$，则△ABC是 ( )

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断

答案： B：连接$CD$（图略）。由弧长公式得$\frac{60\times\pi\times AC}{180}=\frac{\pi}{3}$，解得$AC = 1$，$\therefore AD = 1$，$\therefore\triangle ACD$是等边三角形，$\therefore CD = AD$，$\angle ACD=\angle ADC = 60^{\circ}$。又$AB = 2$，$\therefore BD = 1$，$\therefore BD = CD$，$\therefore\angle B=\angle BCD = 30^{\circ}$，$\therefore\angle ACD+\angle BCD = 90^{\circ}$，即$\triangle ABC$是直角三角形，故选B。

4.新考法 如图，扇形AOB的半径为2，分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AB，OP，∠BOP = 35°，则$\overset{\frown}{AB}$的长 = ______.(结果保留π)(M9224013)

答案： 答案：$\frac{7\pi}{9}$ 解析：本题借助尺规作图考查弧长计算。由作图知，$OP$垂直平分$AB$，$\because OA = OB$，$\therefore\angle AOB = 2\angle BOP = 2\times35^{\circ}=70^{\circ}$，$\because$扇形的半径是$2$，$\therefore\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{70\pi\times2}{180}=\frac{7\pi}{9}$。

5.如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧$\overset{\frown}{AB}$的中点，若∠BAC = 30°，劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{2\pi}{3}$，则⊙O的半径为________.(M9224013)

答案： 答案：$1$ 解析：设$\odot O$的半径为$R$，连接$OA$、$OB$、$OC$（图略），$\because\angle BAC = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BOC = 60^{\circ}$，$\because$点$C$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$的中点，$\therefore\angle AOB = 120^{\circ}$，$\because$劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{2\pi}{3}$，$\therefore\frac{120\pi R}{180}=\frac{2\pi}{3}$，解得$R = 1$，即$\odot O$的半径为$1$。

6.(2024陕西西安西工大附中模拟)如图，平面直角坐标系xOy在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是(-1，-2)，(-3，-1)，(-2，2).
(1)把△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A'B'C'，画出△A'B'C'，此时A'的坐标为________.
(2)在(1)的基础上，求点B在旋转过程中运动的路径长.

答案：
解析： （1）如图，$\triangle A'B'C'$即为所求，此时$A'$的坐标为$(2,-1)$。 （2）$\because OB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，$\therefore$点$B$在旋转过程中运动的路径长$=\frac{90\pi\times\sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}\pi}{2}$。

7.跨语文·诗词赏析 清代郑板桥曾有诗：“纸花如雪满天飞，娇女秋千打四围.五色罗裙风摆动，好将蝴蝶斗春归.”描写的是放风筝和荡秋千的场景.如图，秋千拉绳AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某人荡该秋千荡到最高处(点B)时，踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧BF的长.(M9224013)

答案：
解析：如图，过点$B$作$BG\perp AD$于$G$，$BE$垂直于地面于$E$，易知$BE = DG$，由题意知$BE = 2$，$AC = 3$，$CD = 0.5$，$\therefore AG = AD - GD = AC + CD - BE = 1.5$。$\because AB = 3$，$AG = 1.5$，$\therefore$在$Rt\triangle ABG$中，$\angle ABG = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BAG = 60^{\circ}$，$\therefore\angle BAF = 120^{\circ}$，$\therefore$该秋千所荡过的圆弧$BF$的长为$\frac{120\times\pi\times3}{180}=2\pi$（米）。