《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

9.（2024广西柳州二十六中期中，23，★★☆）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC//OD.
（1）求证：$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$.
（2）若$\overset{\frown}{AC}$的度数为58°，求∠AOD的度数.

答案： 解析
(1)证明：连接OC(图略).
∵OC = OA，
∴∠C = ∠A.
∵AC//OD，
∴∠BOD = ∠A，∠COD = ∠C，
∴∠COD = ∠BOD，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$.
(2)
∵$\overset{\frown}{AC}$的度数是58°，
∴∠AOC = 58°，
∴∠BOC = 180° - ∠AOC = 122°.
∵∠BOD = ∠COD，
∴∠COD = ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = 61°，
∴∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 58° + 61° = 119°.

10.（2023江苏南京玄武期末，21，★★☆）如图，在⊙O中，AB = AC.
（1）若∠BOC = 100°，则$\overset{\frown}{AB}$的度数为________°.
（2）若AB = 13，BC = 10，求⊙O的半径.

答案： 解析
(1)
∵∠BOC = 100°，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数为100°，
∵AB = AC，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数 = $\frac{1}{2}$×(360° - 100°) = 130°. 故答案为130.
(2)连接AO并延长交BC于D(图略)，
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，AD过圆心O，
∴AD⊥BC，
∴BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = 5，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD = $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$ = $\sqrt{13^{2}-5^{2}}$ = 12，在直角△OBD中，由勾股定理，得OB² = (12 - OB)² + 5²，解得OB = $\frac{169}{24}$，即⊙O的半径是$\frac{169}{24}$.

1.如图，在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则$\overset{\frown}{CF}$的度数为________.

答案： 答案 70° 解析 连接OF(图略)，
∵∠A = 70°，∠B = 55°，
∴∠C = 180° - ∠A - ∠B = 55°.
∵OC = OF，
∴∠CFO = ∠C = 55°，
∴∠COF = 180° - ∠C - ∠CFO = 70°，
∴$\overset{\frown}{CF}$的度数是70°.

2.如图，在⊙O中，∠AOB = 110°，C为OA上一点，作点O关于BC所在直线的对称点D，点D恰好在$\overset{\frown}{AB}$上，连接BD，CD，则$\overset{\frown}{AD}$的度数为________.

答案：
答案 50° 解析 如图，连接OD，则OB = OD，由对称得OB = BD，
∴OD = OB = BD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD = 60°.
∵∠AOB = 110°，
∴∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 50°，则$\overset{\frown}{AD}$的度数为50°

3.如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD = CO.若$\overset{\frown}{AD}$的度数为35°，则$\overset{\frown}{BE}$的度数是________.

答案：
答案 105° 解析 如图，连接OD、OE，
∵$\overset{\frown}{AD}$的度数为35°，
∴∠AOD = 35°.
∵CD = CO，
∴∠ODC = ∠AOD = 35°.
∵OD = OE，
∴∠ODC = ∠E = 35°，
∴∠DOE = 180° - ∠ODC - ∠E = 180° - 35° - 35° = 110°，
∴∠AOE = ∠DOE - ∠AOD = 110° - 35° = 75°，
∴∠BOE = 180° - ∠AOE = 180° - 75° = 105°，
∴$\overset{\frown}{BE}$的度数是105°