《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

9.如图，在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10，作△ABC的内切圆O，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，设AD = x，△ABC的面积为S，则S关于x的函数图象大致为 ( )

答案：
A：连接 OD、OE，如图，设⊙O 的半径为 r，因为⊙O 分别与 AB、BC、AC 相切于点 D、E、F，所以 OD ⊥ AB，OE ⊥ BC，AF = AD = x，CE = CF，所以 CE = CF = 10 - x，易得四边形 ODBE 为正方形，所以 DB = BE = OD = r，所以 S = $\frac{1}{2}r(AB + CB + AC)=\frac{1}{2}r(x + r + 10 - x + 10)=r^{2}+10r$，因为 AB² + BC² = AC²，所以(x + r)² + (10 - x + r)² = 10²，所以 r² + 10r = -x² + 10x，所以 S = -x² + 10x = -(x - 5)² + 25（0 ＜ x ＜ 10），故选 A。

10.(2024安徽宿州宿城一中二模)如图，在矩形ABCD中，AB = 8，AD = 6，点E是BC右侧一点且CE⊥BE，点G是AB上一点，点F是DE的中点，若∠DGE = 90°，则FG的最大值为 ( )

A.$\frac{\sqrt{73}+3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{71}+3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{65}+4}{2}$
D.$\frac{\sqrt{61}+4}{2}$

答案：
A：因为∠DGE = 90°，点 F 是 DE 的中点，所以 FG = $\frac{1}{2}DE$，因为 CE ⊥ BE，所以∠BEC = 90°，所以点 E 在以 BC 为直径的半圆 H 上，则 H 为 BC 的中点，如图，所以当 D、H、E 在同一直线上时，DE 有最大值，此时 FG 有最大值，在矩形 ABCD 中，AB = 8，AD = 6，所以 CD = 8，CH = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD = 3$，所以 DH = $\sqrt{8^{2}+3^{2}}=\sqrt{73}$，HE = $\frac{1}{2}BC = 3$，所以 FG 的最大值为$\frac{1}{2}DE=\frac{\sqrt{73}+3}{2}$，故选 A。

11.(2024江苏盐城中考)已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______.

答案： 答案：20π 解析：由圆锥的底面半径为 4，母线长为 5，可知该圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}×2π×4×5 = 20π$。

12.新独家原创 今年五一假期期间，小清和小兰两家准备去亳州，小清和小兰要从花戏楼、曹操运兵道、亳州博物馆中选择一个景点游玩，她们各自通过抽签的方式确定景点，则两人抽到同一个景点的概率是_______.

答案：
答案：$\frac{1}{3}$ 解析：分别用 A、B、C 表示花戏楼、曹操运兵道、亳州博物馆，画树状图得： 

 共有 9 种等可能的结果，两人抽到同一景点的情况有 3 种，则两人抽到同一景点的概率是$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。

13.小明想测量一个球的半径，如图所示，在阳光下，他测得该球的影子离球的最远点A到球与地面的接触点B的距离是10米(即AB = 10米).同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影长为2米，那么该球的半径是_______米.

答案：
答案：(10$\sqrt{5}-20$) 解析：如图所示，设圆心为 O，易知光线与⊙O 相切，设切点为 D，连接 OD，连接 BO 并延长交直线 AD 于点 C。 根据同一时刻，阳光下物高和影长的比值相等，得$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，所以 BC = $\frac{1}{2}AB = 5$米， 易证得 Rt△ABC∽Rt△ODC，则$\frac{AB}{OD}=\frac{AC}{OC}$。 因为 AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{10^{2}+5^{2}} = 5\sqrt{5}$（米），OC = BC - OB = BC - OD， 所以$\frac{10}{OD}=\frac{5\sqrt{5}}{5 - OD}$，所以 OD = (10$\sqrt{5}-20$)米。 故该球的半径为(10$\sqrt{5}-20$)米。

14.(2024安徽庐江模拟)如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，点D为AC的中点，点M在BC边上，且满足$\frac{CM}{MB}=\frac{1}{5}$，MP⊥BD，垂足为N，交AB于点P.
(1)cos∠DBC的值为_______.
(2)$\frac{AP}{PB}$的值为_______.

答案：
答案：
(1)$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(2)$\frac{4}{5}$ 解析：设 CM = a，则 BM = 5a，所以 BC = CM + BM = 6a，因为 AC = BC，所以 AC = 6a，因为点 D 为 AC 的中点，所以 CD = 3a。
(1)因为∠C = 90°，所以 BD = $\sqrt{BC^{2}+CD^{2}} = 3\sqrt{5}a$，所以 cos∠DBC = $\frac{BC}{BD}=\frac{6a}{3\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
(2)如图，延长 PM，交 AC 的延长线于点 E，过点 A 作 AF//BC 交 MP 的延长线于点 F， 因为∠ACB = 90°，MP ⊥ BD 于 N，所以∠BDC + ∠DBC = 90°，∠BDC + ∠E = 90°，所以∠DBC = ∠E， 又因为∠ECM = ∠BCD = 90°，所以△EMC∽△BDC，所以$\frac{CE}{CB}=\frac{CM}{CD}$，$\frac{CE}{6a}=\frac{a}{3a}$，所以 CE = 2a， 因为 AF//BC，所以△ECM∽△EAF，△AFP∽△BMP，所以$\frac{CM}{AF}=\frac{CE}{AE}=\frac{2a}{2a + 6a}=\frac{1}{4}$，$\frac{AP}{BP}=\frac{AF}{BM}$，所以 AF = 4a，所以$\frac{AP}{BP}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}$。

15.[答案含评分细则](6分)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若∠D = 54°，求∠B的度数.

答案： 解析：连接 OC（图略）， 因为 DC 为⊙O 的切线，所以 OC ⊥ CD，所以∠OCD = 90°， 因为∠D = 54°，所以∠COD = 90° - ∠D = 36°， 所以∠B = $\frac{1}{2}∠COD = 18°$。