《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

9.推理能力 动点最值问题(2023内蒙古通辽中考)如图,在扇形AOB中,∠AOB = 60°,OD平分∠AOB交$\overset{\frown}{AB}$于点D,点C是半径OB上一动点,若OA = 1,则阴影部分周长的最小值为 ( )

A.$\sqrt{2}$ + $\frac{\pi}{6}$
B.$\sqrt{2}$ + $\frac{\pi}{3}$
C.2$\sqrt{2}$ + $\frac{\pi}{6}$
D.2$\sqrt{2}$ + $\frac{\pi}{3}$

答案：
A 如图，作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C，此时阴影部分的周长最小，连接OE，在扇形AOB中，∠AOB = 60°，OD平分∠AOB交$\overset{\frown}{AB}$于点D，
∴ ∠AOD = ∠BOD = 30°，由轴对称的性质，得∠EOB = ∠BOD = 30°，OE = OD，CD = CE，
∴ ∠AOE = 90°，
∴ △AOE是等腰直角三角形，
∵ OA = 1，
∴ AE = $\sqrt{2}$，$\overset{\frown}{AD}$的长 = $\frac{30π×1}{180}$ = $\frac{π}{6}$，
∴ 阴影部分周长的最小值为$\sqrt{2}$ + $\frac{π}{6}$，故选A.

10.模型观念 新考向·教材拓展探究试题 【教材原题】如图,一折扇完全打开后,若外侧两竹片AB,AC的夹角为120°,AB长为25 cm,贴纸部分BD长为14 cm,则贴纸部分的面积(双面)为多少?
【解答过程】两面贴纸部分的面积S = 2×$(\frac{120\pi×25^{2}}{360}-\frac{120\pi×11^{2}}{360})$ = 336π(cm²).
【问题分析】纸扇是由圆心角相同,半径不同的两个扇形组成的,本题已知的三个条件为扇形的圆心角和两个扇形的半径.
【拓展探究】
(1)如图1,一折扇完全打开后,若外侧两竹片AB,AC的夹角为120°,$l_{\overset{\frown}{BC}}$ = 20π cm,$l_{\overset{\frown}{DE}}$ = $\frac{20}{3}\pi$ cm,求扇面的面积.
【形成规律】
(2)如图1,一折扇完全打开后,若BD的长为h cm,$l_{\overset{\frown}{BC}}$ = m cm,$l_{\overset{\frown}{DE}}$ = n cm,求证:扇面的面积S = $\frac{1}{2}$(m + n)h cm².
【问题延伸】
(3)如图2,若要从矩形OPQR中剪出符合第(1)问题干中要求的扇面BDEC,求矩形OPQR的长与宽的最小值.

答案：
解析 \n（1）
∵ $l_{\overset{\frown}{BC}}$ = $\frac{120π\cdot AB}{180}$ = 20π cm，
∴ AB = 30 cm，
∵ $l_{\overset{\frown}{DE}}$ = $\frac{120π\cdot AD}{180}$ = $\frac{20}{3}$π cm，
∴ AD = 10 cm，
∴ S = $S_{扇形BAC}$ - $S_{扇形DAE}$ = $\frac{120π\cdot AB^{2}}{360}$ - $\frac{120π\cdot AD^{2}}{360}$ = $\frac{120π}{360}$($AB^{2}-AD^{2}$) = $\frac{120π}{360}$×($30^{2}-10^{2}$) = $\frac{800π}{3}$（cm²）.\n（2）证明：设∠BAC = x°，
∵ $l_{\overset{\frown}{BC}}$ = $\frac{xπ\cdot AB}{180}$ = m cm，
∴ AB = $\frac{180m}{xπ}$ cm，
∵ $l_{\overset{\frown}{DE}}$ = $\frac{xπ\cdot AD}{180}$ = n cm，
∴ AD = $\frac{180n}{xπ}$ cm，
∴ S = $S_{扇形BAC}$ - $S_{扇形DAE}$ = $\frac{xπ\cdot AB^{2}}{360}$ - $\frac{xπ\cdot AD^{2}}{360}$ = $\frac{xπ}{360}$($AB^{2}-AD^{2}$) = $\frac{xπ}{360}$(AB + AD)(AB - AD)，
∵ AB - AD = BD = h cm，
∴ S = $\frac{xπ}{360}$($\frac{180m}{xπ}$ + $\frac{180n}{xπ}$)h = $\frac{1}{2}$(m + n)h cm².\n（3）连接BC，过点A作AN⊥DE于N，延长AN交BC于T，交OR于M，如图.
∵ 四边形OPQR为矩形，
∴ OR//PQ. 由题意得OR//PQ//BC，OR = PQ = BC，
∵ AN⊥DE，
∴ AM⊥OR，AT⊥BC，
∴ OR = BC = 2BT.
∵ ∠BAC = 120°，
∴ ∠BAM = 60°，
∴ ∠ADN = ∠ABT = 30°. 由（1）知，AB = 30 cm，AD = 10 cm，
∴ AN = $\frac{1}{2}$AD = 5 cm，AT = $\frac{1}{2}$AB = 15 cm，
∴ MN = AM - AN = AB - AN = 25 cm，BT = $\sqrt{AB^{2}-AT^{2}}$ = $15\sqrt{3}$ cm，
∴ OR = 2BT = $30\sqrt{3}$ cm，OP = MN = 25 cm，
∴ 矩形OPQR的长与宽的最小值分别为$30\sqrt{3}$ cm和25 cm.