《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

20. [答案含评分细则](2024山东禹城期末)(8分)如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2 m到达点D处时，测得影长DN = 0.6 m，再前进2 m到达点B处时，测得影长MB = 1.6 m.(图中线段AB、CD、EF表示小明的身高)
(1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子.
(2)求小明位于F处的影长.

答案：
解析：（1）如图，点 O 和 FG 即为所求. …… 3 分 （2）如图，过 O 作 OH⊥MG 于点 H，设 DH = x m， 易知 AB//CD//OH，
∴ $\frac{AB}{OH}=\frac{MB}{MH}$，$\frac{CD}{OH}=\frac{ND}{NH}$，
∵ AB = CD，
∴ $\frac{MB}{MH}=\frac{ND}{NH}$， 即$\frac{1.6}{3.6 + x}=\frac{0.6}{0.6 + x}$，解得 x = 1.2. …… 5 分 设 FG = y m， 同理得$\frac{FG}{HG}=\frac{ND}{NH}$， 即$\frac{y}{0.8 + y}=\frac{0.6}{1.8}$，解得 y = 0.4.
∴ 小明位于 F 处的影长为 0.4 m. …… 8 分

21. [答案含评分细则](2024安徽安庆二模)(8分)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CA，CB，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，过点A作AD⊥PC于点D，AD与⊙O交于点E.
(1)求证：AC平分∠DAP.
(2)若AB = 10，sin∠CAB = 2/5，求DE的长.

答案：
解析：（1）证明：连接 OC，如图，
∵ PD 切⊙O 于 C，
∴ OC⊥PD，
∵ AD⊥PD，
∴ OC//AD，
∴ ∠OCA = ∠DAC， …… 2 分
∵ OA = OC，
∴ ∠OCA = ∠OAC，
∴ ∠OAC = ∠DAC，
∴ AC 平分∠DAP. …… 4 分 （2）连接 CE，如图，
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ $\sin\angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5}$，
∴ $BC=\frac{2}{5}AB=\frac{2}{5}\times10 = 4$， …… 6 分
∵ ∠EAC = ∠CAB，
∴ $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ CE = CB = 4， 易知∠DEC = ∠ABC，
∴ ∠DCE = ∠CAB，
∴ $\sin\angle DCE=\sin\angle CAB$. 在 Rt△CDE 中，$\sin\angle DCE=\frac{DE}{CE}=\frac{2}{5}$，
∴ $DE=\frac{2}{5}\times4=\frac{8}{5}$. …… 8 分