《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

16.(2024广西南宁天桃教育集团月考，23，★★☆)如图，在△ABC中，AB = 6，∠C = 65°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为$\overset{\frown}{ABD}$上一点，且∠ADE = 40°.(M9224013)
(1)求$\overset{\frown}{BE}$的长.
(2)若∠EAD = 75°，求证：CB为⊙O的切线.

答案：
解析： （1）如图，连接$OE$，$\because\angle ADE = 40^{\circ}$，$\therefore\angle AOE = 2\angle ADE = 2\times40^{\circ}=80^{\circ}$，$\therefore\angle BOE = 180^{\circ}-\angle AOE = 180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$。$\because AB$是$\odot O$的直径，且$AB = 6$，$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times6 = 3$，$\therefore\overset{\frown}{BE}$的长$=\frac{100\pi\times3}{180}=\frac{5\pi}{3}$。 （2）证明：$\because\angle EAD = 75^{\circ}$，$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BOE=\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}$，$\therefore\angle BAC=\angle EAD-\angle BAE = 75^{\circ}-50^{\circ}=25^{\circ}$。$\because\angle C = 65^{\circ}$，$\therefore\angle ABC = 180^{\circ}-\angle BAC-\angle C = 180^{\circ}-25^{\circ}-65^{\circ}=90^{\circ}$，$\therefore BC\perp OB$。$\because OB$是$\odot O$的半径，$\therefore CB$是$\odot O$的切线。

17.(2024山东枣庄中考，21，★★☆)如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB = 60°，AB = BC = 2AD = 2.以点A为圆心，以AD为半径作$\overset{\frown}{DE}$交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作$\overset{\frown}{EF}$交BC于点F，连接FD交$\overset{\frown}{EF}$于另一点G，连接CG.(M9224013)
(1)求证：CG为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线.
(2)求图中阴影部分面积.(结果保留π)

答案：
解析： （1）证明：连接$BG$，如图1，根据题意可知，$AD = AE$，$BE = BF$。又$\because AB = BC$，$\therefore CF = AE = AD$。$\because BC = 2AD$，$\therefore BF = BE = AD = AE = CF$。$\because AD// BC$，$\therefore$四边形$ABFD$是平行四边形，$\therefore\angle BFD=\angle DAB = 60^{\circ}$。$\because BG = BF$，$\therefore\triangle BFG$是等边三角形，$\therefore GF = BF$，$\therefore GF = BF = FC$，$\therefore G$在以$BC$为直径的圆上，$\therefore\angle BGC = 90^{\circ}$，$\because G$在$\overset{\frown}{EF}$上，$\therefore CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线。 （2）过$D$作$DH\perp AB$于点$H$，连接$BG$，如图2，由图可得，$S_{阴影}=S_{\square ABFD}-S_{扇形DAE}-S_{扇形EBG}-S_{\triangle BFG}$，在$Rt\triangle AHD$中，$AD = 1$，$\angle DAB = 60^{\circ}$，$\therefore DH = AD\cdot\sin\angle DAB = 1\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore S_{\square ABFD}=AB\cdot DH = 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，等边三角形$BFG$的面积为$\frac{1}{2}GF\cdot DH=\frac{1}{2}\times1\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，由（1）可知，扇形$DAE$和扇形$EBG$全等，$\therefore S_{扇形DAE}=S_{扇形EBG}=\frac{n\pi r^{2}}{360}=\frac{60\pi\times1^{2}}{360}=\frac{\pi}{6}$，$\therefore S_{阴影}=S_{\square ABFD}-S_{扇形DAE}-S_{扇形EBG}-S_{\triangle BFG}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{3}$。

例 (2024安徽宣城六中月考)如图，将边长为2的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为________.

答案： 答案：$2\sqrt{2}\pi$ 解析：连接$OB$，$OC$（图略），$\because BC = 2$，$\therefore$由勾股定理得，$OB = OC=\sqrt{2}$，则正方形的中心$O$所经过的路径长$=2\times\pi\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}\pi$。

1.如图，扇形AOB中，OA = 10，∠AOB = 36°.若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形A'O'B，且O'B恰好经过点A，则点O的运动路径长为________.(结果保留π)

答案： 答案：$4\pi$ 解析：根据题意，知$OA = OB$。$\because\angle AOB = 36^{\circ}$，$\therefore\angle OBA = 72^{\circ}$，$\therefore$点$O$的运动路径长$=\frac{72\times\pi\times10}{180}=4\pi$。

2.如图，半径为8的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径恰好落在直线b上，则圆心O运动路径的长度等于________.

答案：
答案：$8\pi$ 解析：由图可知，圆心先向前走$OO_{1}$的长度，从$O$到$O_{1}$的运动轨迹是一条线段，长度为$\odot O$周长的$\frac{1}{4}$，然后沿着弧$O_{1}O_{2}$旋转，易知$\overset{\frown}{O_{1}O_{2}}$为$\frac{1}{4}$圆，则圆心$O$运动路径的长度为$\frac{1}{4}\times2\pi\times8+\frac{1}{4}\times2\pi\times8=8\pi$。