《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

8.如图,等边△OAB的边长为2$\sqrt{3}$,I是△OAB的内切圆的圆心,则点I的坐标为________.(M9224008)

答案：
$(\sqrt{3},1)$。解析：如图，连接$OI$，作$ID$垂直于$x$轴，垂足为$D$。因为等边$\triangle OAB$的边长为$2\sqrt{3}$，$I$是内心，所以$OD=\frac{1}{2}OB=\sqrt{3}$，$\angle IOD=\frac{1}{2}\angle AOB = 30^{\circ}$，所以$ID = OD\cdot\tan30^{\circ}=1$，所以点$I$的坐标为$(\sqrt{3},1)$。

9.教材变式·P45T5 如图,E为△ABC内一点,AE的延长线交△ABC的外接圆(☉O)于点D,且DB = DC = DE.求证:E为△ABC的内心.

答案： 证明：连接$BE$（图略）。因为$DB = DC$，所以$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{DC}$，所以$\angle DAB=\angle DAC=\angle DBC$，所以$AD$平分$\angle CAB$。因为$DB = DE$，所以$\angle DBE=\angle DEB$，即$\angle DBC+\angle CBE=\angle DAB+\angle ABE$，所以$\angle ABE=\angle CBE$，所以$BE$平分$\angle ABC$，所以$E$为$\triangle ABC$的内心。

10.(2024四川邻水模拟)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆☉O于点D,连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM = ∠DAC.(M9224008)
(1)求证:直线DM是☉O的切线.
(2)若DF = 2,AF = 5,求BD的长.

答案：
解析：
(1) **证明**：如图所示，连接$OD$，因为点$E$是$\triangle ABC$的内心，所以$\angle BAD=\angle CAD$，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$OD\perp BC$，又因为$\angle BDM=\angle DAC$，$\angle DAC=\angle DBC$，所以$\angle BDM=\angle DBC$，所以$BC// DM$，所以$OD\perp DM$，又因为$OD$为$\odot O$的半径，所以直线$DM$是$\odot O$的切线。
(2)因为$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$\angle DBF=\angle DAB$，又因为$\angle BDF=\angle ADB$，所以$\triangle DBF\sim\triangle DAB$，所以$\frac{DF}{DB}=\frac{DB}{DA}$，即$DB^{2}=DF\cdot DA$，因为$DF = 2$，$AF = 5$，所以$DA=DF + AF = 7$，所以$DB^{2}=DF\cdot DA = 14$，所以$DB=\sqrt{14}$。

11.(2024广西西大附中月考改编,11,★★☆)如图,在△ABC中,AB = 8,AC = 6,O为△ABC的内心.若△ABO的面积为8,则△ACO的面积为 ( )

A.10
B.6
C.4
D.8

答案： B。因为$O$为$\triangle ABC$的内心，所以点$O$到$AB$，$AC$的距离相等，所以$\triangle ABO$的面积$:\triangle ACO$面积$=AB:AC = 8:6 = 4:3$。因为$\triangle ABO$的面积为8，所以$\triangle ACO$的面积为6，故选B。

12.(2023山东聊城中考,6,★★☆)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI = 35°,则∠OBC的度数为 ( )

A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°

答案：
C。如图，连接$OC$，因为点$I$是$\triangle ABC$的内心，所以$AI$平分$\angle BAC$，因为$\angle CAI = 35^{\circ}$，所以$\angle BAC = 2\angle CAI = 70^{\circ}$，因为点$O$是$\triangle ABC$外接圆的圆心，所以$\angle BOC = 2\angle BAC = 140^{\circ}$，因为$OB = OC$，所以$\angle OBC=\angle OCB=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-\angle BOC)=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-140^{\circ}) = 20^{\circ}$，故选C。

13.整体思想 (2024安徽池州开学测,7,★★☆)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是直径,☉D是△ABC的内切圆,连接AD,BD,则∠ADB的度数为(M9224008) ( )

A.120°
B.135°
C.145°
D.150°

答案： B。因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle CAB+\angle CBA = 90^{\circ}$。因为$\odot D$是$\triangle ABC$的内切圆，所以$AD$平分$\angle CAB$，$BD$平分$\angle CBA$，所以$\angle DAB=\angle DAC=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle DBA=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle CBA$，所以$\angle DAB+\angle DBA=\frac{1}{2}(\angle CAB+\angle CBA)=\frac{1}{2}\times90^{\circ}=45^{\circ}$，所以$\angle ADB = 180^{\circ}-(\angle DAB+\angle DBA)=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$，故选B。

14.情境题·数学文化 一题多解 (2024山东滨州中考,8,★★☆)刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C = 90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是(M9224008) ( )

A.d = a + b - c
B.d = $\frac{2ab}{a + b + c}$
C.d = $\sqrt{2(c - a)(c - b)}$
D.d = |(a - b)(c - b)|

答案：
D。\n**解法一**：特殊值法：因为三角形$ABC$为直角三角形，所以可以令$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$。选项A：$d=a + b - c = 2$，选项B：$d=\frac{2ab}{a + b + c}=2$，选项C：$d=\sqrt{2(c - a)(c - b)}=2$，选项D：$d=\vert(a - b)(c - b)\vert=1$，很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项。\n**解法二**：排除法：如图，作$OE\perp AC$于点$E$，$OD\perp BC$于点$D$，$OF\perp AB$于点$F$。易证四边形$OECD$是正方形，设$OE = OD = OF = r$，则$EC = CD = r$，所以$AE = AF = b - r$，$BD = BF = a - r$，因为$BF + AF = AB$，所以$a - r+b - r = c$，所以$r=\frac{a + b - c}{2}$，所以$d=a + b - c$，故选项A正确。连接$OA$，$OB$，$OC$，因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOB}$，所以$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr$，所以$ab=r(a + b + c)$，所以$r=\frac{ab}{a + b + c}$，所以$d=\frac{2ab}{a + b + c}$，故选项B正确。由前面可知$d=a + b - c$，所以$d^{2}=(a + b - c)^{2}=(a + b)^{2}-2c(a + b)+c^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}-2ac - 2bc + c^{2}=2c^{2}+2ab - 2ac - 2bc = 2[(c^{2}-ac)+b(a - c)]=2(c - a)(c - b)$，所以$d=\sqrt{2(c - a)(c - b)}$，故选项C正确。排除法可知选项D错误。