《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

9.新考法 (2024山东济宁二模)如图,AB为半圆O的直径,现将一块等腰直角三角尺按如图所示方式放置,锐角顶点P在半圆上,斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB = 2,则B、Q两点之间的距离为(M9224007) （ ）

A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\pi}{2}$
C.$\frac{\pi}{4}$
D.1

答案：
A：本题借助直角三角尺考查圆周角定理的推论。连接AQ，BQ，因为AB是直径，所以$\angle AQB = 90^{\circ}$。因为$\angle P = 45^{\circ}$，所以$\angle QAB=\angle P = 45^{\circ}$，所以$\triangle ABQ$是等腰直角三角形。因为$AB = 2$，所以$BQ=\sqrt{2}$。故选A。

10.一题多解 如图,AB是⊙O的直径,点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接AC,BC,D为⊙O上一点,则tan D = _______.

答案：
答案：1 解析：【解法一】因为AB是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。又点C是$\widehat{AB}$的中点，所以$\widehat{BC}=\widehat{AC}$，所以$\angle A=\angle ABC = 45^{\circ}$，所以$\angle D=\angle A = 45^{\circ}$，所以$\tan D=\tan45^{\circ}=1$。 【解法二】如图，连接OC，因为点C是$\widehat{AB}$的中点，所以$\widehat{AC}=\widehat{BC}$。又AB是直径，所以$\angle BOC=\angle AOC = 90^{\circ}$，所以$\angle D=\frac{1}{2}\angle BOC = 45^{\circ}$，所以$\tan D=\tan45^{\circ}=1$。

11.构造同弧所对的圆周角 (2022山东淄博张店一模)如图,一块直角三角尺的30°角的顶点P落在⊙O上,两边分别交⊙O于A,B两点,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为_______.

答案：
答案：2 解析：如图，连接AO并延长，交$\odot O$于点D，连接BD，因为$\angle P = 30^{\circ}$，所以$\angle D=\angle P = 30^{\circ}$，因为AD是$\odot O$的直径，所以$\angle ABD = 90^{\circ}$，所以$AB=\frac{1}{2}AD = OD = 2$。

12.(2024重庆中考B卷,8,★☆☆)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB交⊙O于点C,点D是⊙O上一点,连接BD,CD.若∠D = 28°,则∠OAB的度数为(M9224007) （ ）

A.28°
B.34°
C.56°
D.62°

答案： B：因为$\angle D = 28^{\circ}$，所以$\angle BOC = 2\angle D = 56^{\circ}$。因为$OC\perp AB$，所以点C为$\widehat{AB}$的中点，$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，所以$\angle AOC=\angle BOC = 56^{\circ}$，所以$\angle AOB = 2\times56^{\circ}=112^{\circ}$。因为$OA = OB$，所以$\angle OAB=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-112^{\circ}) = 34^{\circ}$。故选B。

13.(2023吉林中考,6,★☆☆)如图,AB,AC是⊙O的弦,OB,OC是⊙O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC = 70°,则∠BPC的度数可能是 （ ）

A.70°
B.105°
C.125°
D.155°

答案：
D：如图，连接BC，因为$\angle BAC = 70^{\circ}$，所以$\angle BOC = 2\angle BAC = 140^{\circ}$。因为$OB = OC$，所以$\angle OBC=\angle OCB=\frac{180^{\circ}-140^{\circ}}{2}=20^{\circ}$，因为点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），所以$0^{\circ}\leq\angle OCP\lt20^{\circ}$。因为$\angle BPC=\angle BOC+\angle OCP = 140^{\circ}+\angle OCP$，所以$140^{\circ}\leq\angle BPC\lt160^{\circ}$。故选D。

14.(2024安徽霍山三模,7,★★☆)如图,已知⊙O的半径为2,AB,AD是⊙O的弦,BC是⊙O的直径,∠ABC = 30°,弦AD与BC交于点E,且点E是AD的中点,则DE² - CE² = （ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
B：如图，连接DB、DO。因为BC是$\odot O$的直径，点E是AD的中点，所以$BC\perp AD$，$\widehat{CD}=\widehat{CA}$，所以$\angle DBC=\angle ABC = 30^{\circ}$，所以$\angle DOC = 2\angle DBC = 60^{\circ}$，所以$\angle ODE = 30^{\circ}$，所以$OE=\frac{1}{2}OD = 1$，所以$CE = OC - OE = 1$，$DE=\sqrt{OD^{2}-OE^{2}}=\sqrt{3}$，所以$DE^{2}-CE^{2}=3 - 1 = 2$。故选B。

15.(2021安徽中考,13,★★☆)如图,圆O的半径为1,△ABC内接于圆O.若∠A = 60°,∠B = 75°,则AB = _______.

答案：
答案：$\sqrt{2}$ 解析：如图，连接OA，OB，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle ABC = 75^{\circ}$，所以$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC = 45^{\circ}$，所以$\angle AOB = 90^{\circ}$，因为$OA = OB$，所以$\triangle OAB$是等腰直角三角形，因为圆O的半径为1，即$OA = OB = 1$，所以$AB=\sqrt{2}$。

16.(2024江苏连云港中考,14,★★☆)如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = _______°.

答案： 答案：90 解析：由题图可知，$\angle1$，$\angle2$，$\angle3$，$\angle4$这几个圆周角所对的弧之和为半圆AB，半圆AB所对的圆心角为$180^{\circ}$，则$\angle1+\angle2+\angle3+\angle4 = 90^{\circ}$。

17.构造辅助圆 教材变式·P29T3 (2024山东巨野期中,12,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AB = AC = AD,∠DBC = $\frac{1}{3}$∠BDC.如果∠DAC = 25°,那么∠BAC = _______°. (M9224007)

答案：
答案：75 解析：因为$AB = AC = AD$，所以点B、C、D在以点A为圆心，AB长为半径的同一个圆上（如图）。 因为$\angle DAC = 25^{\circ}$，所以$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle DAC = 12.5^{\circ}$。 因为$\angle DBC=\frac{1}{3}\angle BDC$， 所以$\angle BDC = 3\angle DBC = 37.5^{\circ}$，所以$\angle BAC = 2\angle BDC = 75^{\circ}$。