《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

8.构造直径 (2022山东威海中考，20，★★☆)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E.
(1)若AB = AC，求证：∠ADB = ∠ADE.
(2)若BC = 3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC.

答案：
解析
(1) **证明**：因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠ADE = ∠ABC。因为AB = AC，所以∠ABC = ∠ACB。因为∠ACB = ∠ADB，所以∠ADB = ∠ADE。
(2) 如图，连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，则∠FBC = 90°。在Rt△BCF中，CF = 4，BC = 3，所以sin F = $\frac{BC}{CF}=\frac{3}{4}$，因为∠F = ∠BAC，所以sin∠BAC = $\frac{3}{4}$。

9.创新意识 (2024河北邢台威县期末)如图，已知△ABC，O为AC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点N、M，设∠C = α，∠A = β，则 ( )

A.若α - β = 75°，则$\overset{\frown}{MN}$所对应的圆心角为15°
B.若α - β = 75°，则$\overset{\frown}{MN}$所对应的圆心角为30°
C.若α + β = 75°，则$\overset{\frown}{MN}$所对应的圆心角为15°
D.若α + β = 75°，则$\overset{\frown}{MN}$所对应的圆心角为30°

答案：
D 如图，连接ON、BM，所以∠MON = 2∠MBN。因为AM是⊙O的直径，所以∠ABM = 90°，因为∠A = β，所以∠AMB = 90° - β，因为∠AMB = ∠C + ∠CBM，∠C = α，所以∠MBN = 90° - β - α，所以∠MON = 180° - 2(α + β)。当α - β = 75°时，∠MON = 30° - 4β，故A、B选项不符合题意；当α + β = 75°时，∠MON = 180° - 75°×2 = 30°，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选D。

10.推理能力 (2023江苏扬州邗江期中)某版本教材在探究圆内接四边形中对角的数量关系时提出了两个问题：
1.如图(1)，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系?
2.如图(2)，若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，问题1中发现的结论是否仍然成立?

(1)小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：
∵BD是⊙O的直径，
∴______________，
∴∠A + ∠C = 180°，
∵四边形内角和等于360°，
∴______________.
(2)请回答问题2，并说明理由.
(3)如图，点A、B、C、D、E、F在⊙O上，AD//EF，CE//AB，请用上面发现的结论证明CD//BF.

答案：
解析
(1) ∠A = ∠C = 90°；∠ABC + ∠ADC = 180°。
(2) 结论仍然成立。理由：因为∠A所对的弧为$\overset{\frown}{DCB}$，∠C所对的弧为$\overset{\frown}{DAB}$，所以∠A所对的弧$\overset{\frown}{DCB}$+∠C所对的弧$\overset{\frown}{DAB}$为整个圆周，所以∠A + ∠C = $\frac{1}{2}\times360° = 180°$。因为四边形内角和等于360°，所以∠ABC + ∠ADC = 180°。
(3) **证明**：如图，因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠A + ∠DCB = 180°。因为AD//EF，所以∠A = ∠1，所以∠1 + ∠DCB = 180°。因为AB//EC，所以∠1 + ∠E = 180°，所以∠E = ∠DCB。因为四边形BCEF为圆内接四边形，所以∠E + ∠FBC = 180°，所以∠DCB + ∠FBC = 180°，所以CD//FB。