《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

10.(2024江苏句容期中)如图，在Rt△ABO中，∠AOB = 90°，∠B = 60°，OA = 6，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线长PQ的最小值是 ( )

A.2$\sqrt{2}$
B.3
C.2$\sqrt{3}$
D.4

答案：
A 如图，连接OQ，
∵PQ切圆于Q，
∴OQ⊥PQ，
∴∠PQO = 90°，
∵⊙O的半径为1，
∴PQ = $\sqrt{PO^{2}-OQ^{2}}=\sqrt{PO^{2}-1}$，
∴当PO最小时，PQ最小。易知当PO⊥AB时，PO最小。
∵∠B = 60°，
∴∠A = 90° - ∠B = 30°，
∴当PO⊥AB时，PO = $\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}×6 = 3$，
∴PQ的最小值是$\sqrt{3^{2}-1}=2\sqrt{2}$。故选A。

11.(2024广西鹿寨期末改编)若⊙O的半径为23，点P为平面内一点，OP = 12，则点P在⊙O ________(填“上”“内部”或“外部”).

答案： 答案 内部 解析
∵⊙O的半径为23，OP = 12，12 ＜ 23，
∴点P在⊙O内部。

12.(2023山东济南中考)如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，AB的长为半径作弧BE，则阴影部分的面积为________(结果保留π).

答案： 答案 $\frac{6\pi}{5}$ 解析 ∠BAE = $\frac{(5 - 2)×180°}{5}=108°$，
∴阴影部分的面积为$\frac{108\pi×2^{2}}{360}=\frac{6\pi}{5}$。

13.(新独家原创)如图，AB，CD是⊙O的直径，A是$\overset{\frown}{CE}$的中点，连接OE，∠BOD = 32°，则$\overset{\frown}{DE}$的度数为________.

答案： 答案 116° 解析
∵AB，CD是直径，∠BOD = 32°，
∴∠AOC = 32°。 又A是$\overset{\frown}{CE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AC}$，
∴∠AOE = ∠AOC = 32°，
∴∠DOE = 180° - ∠BOD - ∠AOE = 180° - 32° - 32° = 116°。

14.(2023安徽合肥庐江期中)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为$\overset{\frown}{AB}$的中点.若∠D = 30°，BC = 2，解决下列问题：
(1)连接OC，则△OBC的形状是________.
(2)BD的长为________.

答案：
答案 （1）等边三角形 （2）$2\sqrt{2}$ 解析 （1）
∵∠D = 30°，
∴∠COB = 2∠D = 60°。
∵OC = OB，
∴△OCB是等边三角形。 （2）如图，连接OD，
∵△OCB是等边三角形，
∴OB = BC = 2。
∵D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB = 180°，
∴∠AOD = ∠DOB = $\frac{1}{2}∠AOB = 90°$，
∵OB = OD，
∴BD = $\sqrt{2}OB = 2\sqrt{2}$。

15.(6分)如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，P是$\overset{\frown}{AB}$上一点，且∠BPC = 60°.试判断△ABC的形状，并说明你的理由.

答案： 解析 △ABC是等边三角形。 理由：
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AC = BC。又∠A = ∠BPC = 60°，
∴△ABC是等边三角形。

16.(6分)如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，$\overset{\frown}{BD}$=$\overset{\frown}{AD}$，求证：CD平分∠ACE.

答案： 证明
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$，
∴∠BAD = ∠ACD，
∵∠DCE = ∠BAD，
∴∠ACD = ∠DCE， 即CD平分∠ACE。

17.(6分)若⊙O为△ABC的内切圆，∠C = 90°，AO的延长线交BC于点K，AC = 4，CK = 1，求内切圆的半径.

答案：
解析 如图，过O分别作AC，BC的垂线，垂足为D、E。
∵∠C = 90°，
∴四边形OECD是矩形。
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴D，E为⊙O的切点，
∴OD = OE，DC = CE，
∴四边形OECD为正方形， 设⊙O的半径为r，
∴OE = CE = r，
∵OE//AC，
∴△KOE∽△KAC，
∴$\frac{KE}{KC}=\frac{OE}{AC}$，即$\frac{1 - r}{1}=\frac{r}{4}$， 解得r = $\frac{4}{5}$，即内切圆的半径为$\frac{4}{5}$。