《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.(2024广西柳州柳南铁五中学期中)如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD = 110°，则∠DCE的大小是( )

A.70°
B.105°
C.110°
D.120°

答案： C 因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠DCE = ∠BAD = 110°，故选C。

2.四边形ABCD内接于⊙O，且∠A = ∠C，∠B = ∠D，则四边形ABCD是(M9224007) ( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

答案： B 因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。又∠A = ∠C，∠B = ∠D，所以∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，所以四边形ABCD是矩形。

3.新独家原创 如图，四边形ABOC内接于⊙E，以O为原点建立平面直角坐标系，点B、D的坐标分别为(-$\sqrt{3}$，0)，(0，1)，若∠C = 110°，则∠ABD的度数为_________.(M9224007)

答案： 答案 40° 解析 因为∠BOD = 90°，所以BD是直径。因为点B、D的坐标分别为(-√3, 0)，(0, 1)，所以OB = √3，OD = 1。在Rt△BOD中，tan∠OBD = $\frac{OD}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以∠OBD = 30°。因为∠C = 110°，∠C + ∠ABO = 180°，所以∠ABO = 180° - 110° = 70°，所以∠ABD = 70° - 30° = 40°。

4.(2024安徽滁州定远一中开学测)如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC = 4，AC = 4$\sqrt{2}$.(M9224007)
(1)求点O到AC的距离.
(2)求∠ADC的度数.

答案：
解析
(1) 如图，作OM⊥AC于M，因为AC = 4√2，所以AM = CM = 2√2。因为OC = 4，所以OM = $\sqrt{OC^{2}-MC^{2}} = 2\sqrt{2}$。

(2) 如图，连接OA，因为OM = MC，∠OMC = 90°，所以∠MOC = ∠MCO = 45°，因为OA = OC，所以∠OAM = 45°，所以∠AOC = 90°，所以∠B = 45°，因为∠D + ∠B = 180°，所以∠D = 135°。

5.(2024四川宜宾中考，9，★★☆)如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则$\frac{AB + AC}{AD}$的值为 ( )

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2$\sqrt{2}$
D.2$\sqrt{3}$

答案：
A 如图，连接BD、CD，因为BC是⊙O的直径，所以∠BAC = ∠BDC = 90°。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，所以BD = CD。在四边形ABDC中，∠BAC = ∠BDC = 90°，∠ACD + ∠ABD = 180°，将△ADC绕D点逆时针旋转90°，设A旋转后的对应点为A'，易证A，B，A'三点共线，CD旋转至BD处，AD旋转至A'D处，如图所示，可知AB + AC = AB + A'B = AA'。由旋转可知∠A'DB = ∠ADC，A'D = AD，所以∠A'DA = ∠A'DB + ∠BDA = ∠ADC + ∠BDA = ∠BDC = 90°，所以在等腰直角三角形A'DA中，sin A' = sin 45° = $\frac{AD}{AA'}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\frac{AB + AC}{AD}=\frac{AA'}{AD}=\sqrt{2}$，故选A。

6.(2024山东滨州中考，14，★★☆)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D = _________°.

答案： 答案 60 解析 设∠D = x°，因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠B + ∠D = 180°。因为四边形OABC是菱形，所以∠AOC = ∠B。又∠AOC = 2∠D = 2x°，所以2x + x = 180，解得x = 60，即∠D = 60°。

7.(2024安徽合肥长丰一模，20，★★☆)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD = 90°，BC = CD，过点C作CE，使得CD = CE，且E在AD的延长线上.
(1)求证：AB = AE.
(2)若AD = DE = 2，求CD的长.

答案：
解析
(1) **证明**：如图1，连接AC。因为BC = CD，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，所以∠BAC = ∠EAC。因为CD = CE，所以∠E = ∠CDE，BC = CE。因为∠B + ∠ADC = 180°，∠CDE + ∠ADC = 180°，所以∠B = ∠CDE，所以∠B = ∠E。在△ABC与△AEC中，$\begin{cases}∠BAC = ∠EAC \\∠B = ∠E \\BC = EC\end{cases}$，所以△ABC≌△AEC(AAS)，所以AB = AE。

(2) 如图2，连接BD。因为∠BAD = 90°，所以BD是⊙O的直径，所以∠BCD = 90°。由
(1)可得AB = AE。因为AD = DE = 2，所以AB = AE = AD + DE = 4。在Rt△ABD中，BD = $\sqrt{AB^{2}+AD^{2}} = 2\sqrt{5}$。在Rt△BCD中，CD = BC = $\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\sqrt{10}$。