《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

8.教材变式·P57T5 如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2，则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和是 ( )

A.2π
B.π
C.$\frac{1}{2}\pi$
D.6π

答案： A：$\because$三角形的内角和等于$180^{\circ}$，$\therefore$三个扇形的圆心角度数之和等于$180^{\circ}$，又$\because$三个扇形的半径都是$2$，$\therefore$三个扇形的面积之和为$\frac{180\pi\times2^{2}}{360}=2\pi$，故选A。

9.一题多解 (2024四川岳池三模)如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为(M9224013) ( )

A.$\frac{5}{2}+\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{3}{2}-\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{5}{2}-\frac{\pi}{2}$
D.$\frac{5}{2}-\frac{\pi}{4}$

答案：
D： 【解法一】如图，连接$OE$。由题意知$OE = OC = 1$。$\because S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}\times2\times2 = 2$，$S_{扇形COE}=\frac{1}{4}\pi\times1^{2}=\frac{\pi}{4}$，$S_{\triangle COE}=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$，$\therefore$阴影部分的面积为$2 - (\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2})=\frac{5}{2}-\frac{\pi}{4}$。故选D。 【解法二】如图，连接$OE$。由题意知$OE = OC = 1$，$\therefore S_{阴影}=S_{正方形ABCD}-S_{扇形COE}-S_{四边形ABOE}=2^{2}-\frac{1}{4}\pi\times1^{2}-\frac{1}{2}\times(1 + 2)\times1=\frac{5}{2}-\frac{\pi}{4}$。故选D。

10.跨体育与健康·乒乓球拍 和差法求面积 我国的国球是乒乓球，世界上乒乓球拍的拍形大体上可以归为三类：圆形、方形和异形，绝大多数的横板与中国式的直板都是圆形的.如图所示的是李明同学自制的一块乒乓球拍，⊙O的半径为8 cm，$\overset{\frown}{AB}$的长为4π cm，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮的面积为________cm².

答案：
答案：$(32 + 48\pi)$ 解析：如图，连接$OA$、$OB$，设$\angle AOB$的度数为$n^{\circ}$，$\because\overset{\frown}{AB}$的长为$4\pi\ cm$，$OB = 8\ cm$，$\therefore\frac{n\pi\times8}{180}=4\pi$，$\therefore n = 90$，$\therefore\angle AOB = 90^{\circ}$，$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times8\times8 = 32(cm^{2})$，$\overset{\frown}{ACB}$的度数为$270^{\circ}$，$\therefore\overset{\frown}{ACB}$与$OA$、$OB$围成的扇形的面积$=\frac{270\times\pi\times8^{2}}{360}=48\pi(cm^{2})$，则胶皮的面积为$(32 + 48\pi)cm^{2}$。

11.割补法求面积 如图，在扇形AOB中，∠AOB = 90°，∠COB = 45°，在半圆OEB中，OB = 10，求图中阴影部分的面积.(M9224013)

答案：
解析：如图，连接$BE$。$\because OB$为半圆$OEB$的直径，$\therefore\angle OEB = 90^{\circ}$，$\because\angle EOB = 45^{\circ}$，$\therefore\angle OBE = 45^{\circ}$，$\therefore OE = BE$，$\therefore S_{甲}=S_{丙}$，$\therefore S_{阴影}=S_{甲}+S_{乙}=S_{丙}+S_{乙}=S_{扇形BOC}-S_{\triangle OEB}$，$\because OB = 10$，$\therefore OE = BE = 5\sqrt{2}$，$\therefore S_{阴影}=\frac{45\pi\times10^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times5\sqrt{2}\times5\sqrt{2}=\frac{25}{2}\pi - 25$。

12.(2024安徽合肥瑶海三模，7，★★☆)如图，△ABC的顶点B，C落在⊙O上，AB经过圆心O，AC与⊙O相交于点D，已知∠A = 20°，∠CBD = 50°，BC = 2，则$\overset{\frown}{CD}$的长为 ( )

A.$\frac{5\pi}{9}$
B.$\frac{10\pi}{9}$
C.π
D.$\frac{20\pi}{9}$

答案：
B：连接$OC$，$OD$，$\because\angle CBD = 50^{\circ}$，$\therefore\angle COD = 100^{\circ}$。$\because OC = OD$，$\therefore\angle ODC=\angle OCD = 40^{\circ}$，$\therefore\angle DOA=\angle ODC-\angle A = 20^{\circ}$，$\therefore\angle BOC = 180^{\circ}-100^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$。$\because OC = OB$，$\therefore\triangle OBC$是等边三角形，$\therefore OC = BC = 2$，$\therefore\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{100\pi\times2}{180}=\frac{10\pi}{9}$。故选B。

13.(2024重庆中考A卷，8，★★☆)如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD = 4，则图中阴影部分的面积为 ( )

A.32 - 8π
B.16$\sqrt{3}$ - 4π
C.32 - 4π
D.16$\sqrt{3}$ - 8π

答案：
D：如图，连接$AC$。$\because$两弧有且仅有一个公共点，$AD = 4$，$\therefore AC = 2AD = 8$，$\therefore$在$Rt\triangle ADC$中，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$，$\therefore S_{矩形ABCD}=AD\cdot CD = 16\sqrt{3}$，$\because$两个扇形均为$\frac{1}{4}$圆，而且它们的半径相等，$\therefore$两个扇形面积之和为$\frac{1}{2}$圆，即$S_{两个扇形}=\frac{1}{2}\pi AD^{2}=8\pi$，$\therefore S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-S_{两个扇形}=16\sqrt{3}-8\pi$。故选D。

14.(2024四川广安中考，9，★★☆)如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC = 10，∠C = 70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则$\overset{\frown}{DE}$的长度为(M9224013) ( )

A.$\frac{\pi}{9}$
B.$\frac{5\pi}{9}$
C.$\frac{10\pi}{9}$
D.$\frac{25\pi}{9}$

答案：
C：如图，连接$OD$，$OE$，$\because AB = AC$，$\therefore\angle ABC=\angle C = 70^{\circ}$，$\because OE = OB$，$\therefore\angle OEB=\angle ABC = 70^{\circ}$，$\therefore\angle OEB=\angle C = 70^{\circ}$，$\therefore OE// AC$，在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，$\therefore\angle A = 180^{\circ}-\angle ABC-\angle C = 180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}$，$\because OA = OD=\frac{1}{2}AB = 5$，$OE// AC$，$\therefore\angle A=\angle ADO = 40^{\circ}=\angle DOE$，$\therefore\overset{\frown}{DE}$的长度为$\frac{40\pi\times5}{180}=\frac{10\pi}{9}$，故选C。

15.和差法求面积 (2022广西贵港中考，17，★★☆)如图，在□ABCD中，AD = $\frac{2}{3}$AB，∠BAD = 45°，以点A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB = 3$\sqrt{2}$，则图中阴影部分的面积是________.

答案：
答案：$5\sqrt{2}-\pi$ 解析：如图，过点$D$作$DF\perp AB$于点$F$，$\because AD=\frac{2}{3}AB$，$AB = 3\sqrt{2}$，$\therefore AD=\frac{2}{3}\times3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$\because\angle BAD = 45^{\circ}$，$\therefore DF = AD\cdot\sin45^{\circ}=2\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2$，$\because AE = AD = 2\sqrt{2}$，$\therefore EB = AB - AE=\sqrt{2}$，$\therefore S_{阴影}=S_{\square ABCD}-S_{扇形DAE}-S_{\triangle EBC}=3\sqrt{2}\times2-\frac{45\pi\times(2\sqrt{2})^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times2=5\sqrt{2}-\pi$。