《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.【阅读】如图1，点P在⊙O外或点P在⊙O内，直线PO交⊙O于点A、B，则线段PA是点P到⊙O上各点所连线段中最短的线段，线段PB是点P到⊙O上各点所连线段中最长的线段.

【运用】如图2，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，点E是AC的中点.若F是BC边上一动点，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C'EF，连接BC'，求BC'的最小值.

答案：
**解析**：连接BE，如图。\n因为AB = AC = 2，点E是AC的中点，△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C'EF，所以EC = EC'=$\frac{1}{2}AC = 1$，进而AE = CE = C'E。\n所以点C'在以E为圆心，1为半径的⊙E上。\n当C'在线段BE上时，BC'最小，此时BC' = BE - C'E。\n在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}=\sqrt{5}$，所以BC'=$\sqrt{5}-1$。

2. 一题多解 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = BC = 4，D是BC的中点，∠CAD = ∠CBE，则AE = （ ）

A.4
B.3√2
C.2√5
D.√2

答案：
**B**：因为∠ABC = 90°，AB = BC = 4，所以∠C = ∠BAC = 45°，AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 4\sqrt{2}$。\n因为D是BC的中点，所以CD=$\frac{1}{2}BC = 2$。\n**【解法一】**：如图，连接DE。\n因为∠CAD = ∠CBE，所以A，B，D，E四点共圆，所以∠DEC = ∠ABD = 90°，所以CE = CD·cos45°=$\sqrt{2}$，所以AE = AC - CE = 3$\sqrt{2}$。\n**【解法二】**：因为∠CAD = ∠CBE，∠C = ∠C，所以△CAD∽△CBE，所以$\frac{CE}{CD}=\frac{BC}{AC}$。\n即$\frac{CE}{2}=\frac{4}{4\sqrt{2}}$，所以CE=$\sqrt{2}$，所以AE = 4$\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。\n**【解法三】**：作BF垂直于AC于F（图略），所以AF = BF = CF = 2$\sqrt{2}$。\n因为∠CAD = ∠CBE，所以∠BDA = ∠BEA，所以tan∠BDA = tan∠BEA=$\frac{AB}{BD}=\frac{BF}{EF}=2$。\n因为BF = 2$\sqrt{2}$，所以EF=$\sqrt{2}$，所以AE = 3$\sqrt{2}$。故选B。

3. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD = ∠BCD = 90°，∠ACD = 30°，AD = 2，E是AC的中点，连接DE，求线段DE长度的最小值.

答案：
**解析**：连接BD。\n因为∠BAD = ∠BCD = 90°，所以A、B、C、D四点共圆，且BD为直径。\n取BD中点O，则圆心为点O，如图，连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF。\n因为∠ACD = 30°，所以∠AOD = 60°。\n因为OA = OD，所以△OAD为等边三角形，所以OA = OD = OC = AD = 2。\n因为F为AO的中点，所以OF = 1，∠AFD = 90°，所以DF=$\sqrt{3}$。\n因为E是AC的中点，所以EF是△AOC的中位线，所以EF=$\frac{1}{2}OC = 1$。\n在△DEF中，DF - EF≤DE，EF的值始终不变，所以当D、E、F三点共线时，DE取到最小值，最小值为$\sqrt{3}-1$。