《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，如果OE = OF，那么下列结论不一定正确的是 （ ）

A.∠AOB = ∠COD
B.AB = CD
C.∠AOC = ∠BOD
D.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$

答案： C 由OE = OF，OE⊥AB，OF⊥CD，可得AB = CD，∠AOB = ∠COD，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，但∠AOC与∠BOD不一定相等，故选C.

2.一题多解 如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，AB是直径，且AB//CD，若∠D = 120°，AD = 2 cm，则CD = ________ cm.（M9224005）

答案：
答案 2 解析 【解法一】如图①，连接OD，OC.
∵AB//CD，
∴∠A + ∠ADC = 180°. 又
∵∠ADC = 120°，
∴∠A = 180° - 120° = 60°，
∵OA = OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO = 60°，
∴∠ODC = 60°. 又OC = OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD = OD = AD = 2 cm.【解法二】如图②，连接OD，过O作OE⊥AD，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
∵AB//CD，
∴∠A + ∠ADC = 180°. 又
∵∠ADC = 120°，
∴∠A = 180° - 120° = 60°，
∵OA = OD，
∴∠ADO = 60°，
∴∠ODC = 60°，
∴OE = OD·sin 60° = OF，
∴CD = AD = 2 cm. 

3.（2024江苏南通通州期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD = BC.（M9224005）
（1）比较$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$的长度，并证明你的结论.
（2）求证：AE = CE.

答案： 解析
(1)$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$的长度相等. 证明：
∵AD = BC，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$.
(2)证明：连接AC(图略)， 由
(1)知$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
∴AB = CD， 在△ADC和△CBA中，$\begin{cases}AC = CA,\\CD = AB,\\AD = CB,\end{cases}$
∴△ADC≌△CBA(SSS)，
∴∠ACD = ∠CAB，
∴AE = CE. ·方法归纳 证明弧相等，常通过说明这两条弧所对的圆心角相等，或所对的弦相等进行证明.

4.（2024甘肃武威凉州二模）如图，在⊙O中，∠A = 30°，则劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数是 （ ）

A.30°
B.60°
C.90°
D.120°

答案： D 连接OB(图略)，
∵OA = OB，
∴∠B = ∠A = 30°，
∴∠AOB = 180° - 30° - 30° = 120°，
∴劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为120°. 故选D.

5.如图，半径OC⊥AB，$\overset{\frown}{BC}$的度数为70°，连接OA，OB，则∠AOC = （ ）

A.20°
B.35°
C.55°
D.70°

答案： D
∵$\overset{\frown}{BC}$的度数为70°，
∴∠BOC = 70°，
∵OC⊥AB，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC = ∠BOC = 70°. 故选D.

6.如图，点C是⊙O上的点，以点C为圆心，⊙O的半径为半径作弧交⊙O于点A、B，则$\overset{\frown}{ACB}$的度数为________.

答案： 答案 120° 解析 连接OA、OB、OC、AC、BC(图略)，由题意可知CA = OC = OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC = 60°，同理∠BOC = 60°，则∠AOB = 120°，
∴$\overset{\frown}{ACB}$的度数为120°.

7.（2024安徽亳州二模，7，★★☆）如图，EF，CD是⊙O的两条直径，点A是劣弧$\overset{\frown}{DF}$的中点.若∠COF = 32°，则∠ADC的度数是 （ ）

A.47°
B.74°
C.53°
D.63°

答案：
C 连接OA，如图.
∵∠COF = 32°，
∴∠DOF = 180° - 32° = 148°，
∵点A是劣弧$\overset{\frown}{DF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$，则∠AOD = ∠AOF = $\frac{1}{2}$∠DOF = 74°.
∵OD = OA，
∴∠ADC = $\frac{180° - 74°}{2}$ = 53°，故选C

8.（2023安徽合肥庐阳一模，13，★★☆）如图，在△ABC中，∠B = 70°，⊙O截三边所得的弦长DE = FG = HI，则∠AOC = ________度.

答案：
答案 125 解析 过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，
∵DE = FG = HI，
∴OM = OK = OP，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴∠OAC = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA = $\frac{1}{2}$∠BCA，
∵∠B = 70°，
∴∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠B = 110°，
∴∠OAC + ∠OCA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°，
∴∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - 55° = 125°