《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

4. 在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 2，BC = 3.点D为平面上一个动点，∠ADB = 45°，求线段CD的最小值.

答案：
**解析**：如图，作△ABD的外接圆⊙O（因求CD的最小值，故圆心O在AB的右侧），连接OA、OB、OC，过O作OE⊥BC于点E，则当D在线段OC上时，CD的值最小。\n因为∠ADB = 45°，所以∠AOB = 90°，所以△AOB为等腰直角三角形。\n因为AB = 2，所以AO = BO=$\sqrt{2}$。\n因为∠OBA = 45°，∠ABC = 90°，所以∠OBE = 45°，所以△OBE为等腰直角三角形。\n所以OE = BE = 1，所以CE = BC - BE = 3 - 1 = 2。\n在Rt△OEC中，OC=$\sqrt{OE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。\n当D在线段OC上时，CD的值最小，此时OD = OA=$\sqrt{2}$，故线段CD的最小值为OC - OD=$\sqrt{5}-\sqrt{2}$。

5. 如图，等边△ABC的边长为4，D为BC边的中点，P为直线BC上方的一个动点，且满足∠PAD = ∠PDC，求线段CP长的最小值.

答案：
**解析**：因为等边△ABC的边长为4，D为BC边的中点，所以∠ADC = 90°，所以∠ADP+∠PDC = 90°。\n因为∠PAD = ∠PDC，所以∠PAD+∠ADP = 90°，所以∠APD = 90°。\n所以点P在以AD为直径的⊙O上，如图，连接OC，当P在OC上时，PC的长最小。\n在Rt△ADC中，AC = 4，CD = 2，所以AD=$\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。\n因为O是AD的中点，所以OD=$\sqrt{3}=OP$。\n由勾股定理，得OC=$\sqrt{OD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{7}$，所以CP=$\sqrt{7}-\sqrt{3}$，即线段CP长的最小值为$\sqrt{7}-\sqrt{3}$。

6. 如图，在四边形ABCD中，AB = AD = CD = 4，AD//BC，∠B = 60°，点E、F分别为边BC、CD上的动点，且∠EAF = 60°，则△AEF的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

答案：
**解析**：存在。如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABF'，易知F'、B、E三点共线。\n由旋转得AF' = AF，∠F'AB = ∠FAD。\n因为AD//BC，∠ABC = 60°，所以∠BAD = 120°。\n因为∠EAF = 60°，所以∠EAB+∠DAF = 60°，所以∠F'AE = ∠F'AB+∠BAE = ∠FAD+∠BAE = 60° = ∠EAF。\n因为AE = AE，AF' = AF，所以△FAE≌△F'AE（SAS）。\n作△AEF'的外接圆⊙O，过O作OH⊥EF'于点H，过A作AG⊥BC于点G，连接OF'，OE，则∠F'OH=$\frac{1}{2}∠F'OE = ∠F'AE = 60°$。\n设⊙O的半径为r，则OH=$\frac{r}{2}$，F'H=$\frac{\sqrt{3}r}{2}$，所以EF'=$\sqrt{3}r$。\n因为AB = 4，∠ABC = 60°，所以AG = 2$\sqrt{3}$。\n因为OA+OH≥AG，所以r+$\frac{r}{2}≥2\sqrt{3}$，所以r≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。\n所以$S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AEF'}=\frac{1}{2}EF'\cdot AG=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}r\cdot2\sqrt{3}≥4\sqrt{3}$，所以△AEF面积的最小值为4$\sqrt{3}$。