《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1. 跨语文·诗词鉴赏 用数学的方式理解“当窗理云鬓,对镜帖花黄”和“坐地日行八万里”(只考虑地球的自转),其中蕴含的图形运动是(M9224001) ( )
A. 平移和旋转
B. 对称和旋转
C. 对称和平移
D. 旋转和平移

答案： B “当窗理云鬓，对镜帖花黄”蕴含的图形运动是对称；“坐地日行八万里”蕴含的图形运动是旋转. 故选B.

2. (2023甘肃兰州树人中学期中)如图,小明坐在秋千上,秋千旋转了76°,小明的位置也从点A运动到了点A',则旋转中心是点________,旋转角是∠________ = ________°. (M9224001)

答案： 答案：$O$；$A'OA$；$76$ 解析：$\because$小明的位置绕定点$O$从点$A$运动到了点$A'$，$\therefore$旋转中心是点$O$，点$A$和点$A'$是对应点，旋转角是$\angle A'OA = 76^{\circ}$.

3. 易错题 教材变式·P11T10 在平面直角坐标系中,将抛物线y = x² + 2025绕原点按逆时针方向旋转180°,则这时抛物线对应的函数表达式为 ( )
A. y = -x² + 2025
B. y = x² - 2025
C. y = -x² - 2025
D. y = x² + 2025

答案： C 抛物线$y = x^{2}+2025$开口向上，顶点位于$y$轴正半轴且距离原点$2025$个单位长度，将其绕原点按逆时针方向旋转$180^{\circ}$后，抛物线开口向下，顶点位于$y$轴负半轴且距离原点$2025$个单位长度，所以旋转后的抛物线对应的函数表达式为$y = -x^{2}-2025$，故选C.

4. (2024安徽宿州宿城一中期中)如图,把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分别是点D,E,且点E在BC的延长线上,连接BD,则下列结论一定正确的是(M9224001) ( )

A. ∠CAE = ∠BED
B. AB = AE
C. ∠ACE = ∠ADE
D. CE = BD

答案： A 设$AD$与$BE$的交点为$O$（图略），$\because$把$\triangle ABC$以点$A$为中心逆时针旋转得到$\triangle ADE$，$\therefore \angle ABC=\angle ADE$，$\angle BAD = \angle CAE$. 又$\because \angle AOB=\angle DOE$，$\therefore \angle BED=\angle BAD=\angle CAE$. 故选A.

5. (2024安徽天长月考)如图,△AOB绕点O逆时针旋转55°得到△COD,若∠A = 100°,∠D = 50°,则∠BOC的度数是________°. (M9224001)

答案： 答案：$25$ 解析：$\because \triangle AOB$绕点$O$逆时针旋转$55^{\circ}$得到$\triangle COD$，$\therefore \angle BOD = 55^{\circ}$，$\angle C=\angle A = 100^{\circ}$. 又$\because \angle D = 50^{\circ}$，$\therefore \angle COD = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BOC=\angle BOD-\angle COD = 55^{\circ}-30^{\circ}=25^{\circ}$.

6. 新独家原创 如图,△ABC中,AB = AC,点P是△ABC内一点,∠BAP = 45°,将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACQ重合,且AQ//BC,连接PQ.若AP = 1,则PQ = ________. (M9224001)

答案： 答案：$\sqrt{2}$ 解析：$\because \triangle ACQ$是由$\triangle ABP$绕点$A$逆时针旋转得到的，$\therefore \angle CAQ=\angle BAP = 45^{\circ}$. 又$AQ// BC$，$\therefore \angle ACB=\angle CAQ = 45^{\circ}$. $\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$，$\therefore \angle BAC = 90^{\circ}$. 由旋转的性质，得$\angle PAQ=\angle BAC = 90^{\circ}$，$AQ = AP = 1$，$\therefore PQ=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$.

7. (2024广西浦北期中)如图,在△ABC中,AB = BC,∠ABC = 120°,点D在边AC上,且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与△ABE的边BE重合,点F是ED与AB的交点. (M9224001)
(1)求证:AE = CD.
(2)若∠DBC = 45°,求∠BFE的度数.

答案： 解析： （1）证明：$\because$线段$BD$绕着点$B$按逆时针方向旋转$120^{\circ}$能与$\triangle ABE$的边$BE$重合，$\therefore BD = BE$，$\angle EBD = 120^{\circ}$. $\because \angle ABC = 120^{\circ}$，$\therefore \angle ABD+\angle DBC=\angle ABD+\angle ABE = 120^{\circ}$，$\therefore \angle DBC=\angle ABE$，$\because AB = BC$，$\therefore \triangle ABE\cong\triangle CBD(SAS)$，$\therefore AE = CD$. （2）由（1）可知$\angle ABE=\angle DBC = 45^{\circ}$，$BD = BE$，$\angle EBD = 120^{\circ}$，$\therefore \angle BED=\angle BDE=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-120^{\circ}) = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BFE = 180^{\circ}-\angle BED-\angle ABE = 180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$.