《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

3.(2023海南海口期末)如图1，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$AD\perp BC$于点$D$，$\angle MDN = 90^{\circ}$，将$\angle MDN$绕点$D$顺时针旋转，它的两边分别交$AB$、$AC$于点$E$、$F$.
(1)求证：$\triangle BDE\cong\triangle ADF$.
(2)如图2，若$DM = DN$，连接$BM$、$NA$，求证：$BM = AN$.

答案： 3. **证明**\n（1）因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C = 45^{\circ}$。因为$AD\perp BC$，所以$\angle DAF = 45^{\circ}$，$D$为$BC$的中点，所以$BD = CD = AD=\frac{1}{2}BC$，$\angle ABC=\angle DAF$。因为$\angle BDE+\angle ADE=\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle ADE+\angle ADF=\angle MDN = 90^{\circ}$，所以$\angle BDE=\angle ADF$。 在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}\angle DBE=\angle DAF\\BD = AD\\\angle BDE=\angle ADF\end{cases}$，所以$\triangle BDE\cong\triangle ADF(ASA)$。\n（2）由（1）知$BD = AD$，$\angle BDM=\angle ADN$。在$\triangle MBD$和$\triangle NAD$中，$\begin{cases}BD = AD\\\angle BDM=\angle ADN\\DM = DN\end{cases}$，所以$\triangle MBD\cong\triangle NAD(SAS)$，所以$BM = AN$。

4.(2024安徽合肥四十二中期中)如图，$P$是等边三角形$ABC$内一点，且$PA = 6$，$PB = 8$，$PC = 10$，将$\triangle PAC$绕点$A$逆时针旋转后，得到$\triangle P'AB$，连接$PP'$，求：（M9224001）
(1)$PP'$的长度.
(2)$\angle APB$的度数.

答案： 4. **解析**\n（1）因为三角形$ABC$是等边三角形，所以$\angle BAC = 60^{\circ}$。因为$\triangle PAC$绕点$A$逆时针旋转后，得到$\triangle P'AB$，所以$\angle PAP'=\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\triangle APP'$是等边三角形，所以$PP' = PA = 6$。\n（2）因为$\triangle PAC$绕点$A$逆时针旋转后，得到$\triangle P'AB$，所以$P'B = PC = 10$。因为$PB^{2}+PP'^{2}=8^{2}+6^{2}=100$，$P'B^{2}=10^{2}=100$，所以$PB^{2}+PP'^{2}=P'B^{2}$，所以$\triangle P'PB$是直角三角形，$\angle BPP' = 90^{\circ}$。因为$\triangle APP'$是等边三角形，所以$\angle APP' = 60^{\circ}$，所以$\angle APB=\angle APP'+\angle BPP' = 60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$。