《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

5.[新考法·坐标系与切线判定]如图,在平面直角坐标系中,以点C(2,0)为圆心,3为半径的圆交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点B,过点B的直线交x轴负半轴于点D(-\frac{5}{2},0).
(1)求A、B两点的坐标.
(2)求证:直线BD是⊙C的切线.

答案：
解析：本题结合平面直角坐标系考查切线的判定。\n（1）因为点$C(2,0)$，圆$C$的半径为$3$，所以$OC = 2$，$AC = 3$，所以$OA = OC + CA = 5$，所以$A(5,0)$。如图，连接$CB$，则$CB = 3$。在$Rt\triangle OCB$中，$OB=\sqrt{CB^{2}-OC^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$，所以$B(0,\sqrt{5})$。\n（2）证明：因为点$D(-\frac{5}{2},0)$，所以$OD=\frac{5}{2}$。所以$DB^{2}=BO^{2}+DO^{2}=5+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$，$DC = DO + OC=\frac{9}{2}$，因为$CB = 3$，所以$DB^{2}+CB^{2}=\frac{45}{4}+9=\frac{81}{4}=DC^{2}$，所以$\triangle DBC$是直角三角形，$BC\perp DB$。因为$CB$是$\odot C$的半径，所以直线$BD$是$\odot C$的切线。

6.(2024安徽安庆二十二校期末联考节选)已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB = AD,AE是⊙O的弦,∠AEC = 30°.求证:直线AD是⊙O的切线.

答案：
证明：如图，连接$OA$，因为$\angle AEC = 30^{\circ}$，所以$\angle B = \angle AEC = 30^{\circ}$，$\angle AOC = 2\angle AEC = 60^{\circ}$，因为$AB = AD$，所以$\angle D = \angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle OAD = 180^{\circ}-\angle AOC-\angle D = 90^{\circ}$，因为$OA$是$\odot O$的半径，且$AD\perp OA$，所以直线$AD$是$\odot O$的切线。

7.(2024安徽安庆四中开学测节选)如图,在Rt△ABC中,∠BAC = 90°,BD是角平分线,以点D为圆心,DA为半径的⊙D与AC相交于点E.求证:BC是⊙D的切线.

答案： 证明：过点$D$作$DF\perp BC$于点$F$（图略），因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$，所以$AD = DF$。因为$AD$是$\odot D$的半径，$DF\perp BC$，所以$BC$是$\odot D$的切线。

8.(2023广西贵港港南四模节选)如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD = ∠BAD.求证:AB为⊙O的切线.

答案：
证明：过点$O$作$OE\perp AB$于点$E$，如图。因为$AD\perp BO$，所以$\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，$\angle AOD+\angle OAD = 90^{\circ}$。因为$\angle AOD = \angle BAD$，所以$\angle ABD = \angle OAD$。因为$BC$为$\odot O$的切线，所以$AC\perp BC$，所以$\angle BCO = 90^{\circ}=\angle D$。因为$\angle BOC = \angle AOD$，所以$\angle OBC = \angle OAD = \angle ABD$。在$\triangle BOC$和$\triangle BOE$中，$\begin{cases}\angle OBC = \angle OBE\\\angle OCB = \angle OEB\\BO = BO\end{cases}$，所以$\triangle BOC\cong\triangle BOE(AAS)$，所以$OE = OC$。因为$OE\perp AB$，所以$AB$是$\odot O$的切线。