《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册沪科版》

1.(2024黑龙江牡丹江中考)下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )

A. B. C. D.

答案： C：只有 C 选项中的图形绕一点旋转 180°后能与本身重合，并且至少能够找到一条直线，使得图形沿着该直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，即 C 中的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故选 C。

2.下列语句中，是必然事件的是 ( )
A.已知∠A、∠B是锐角，则sin A = cos B
B.有一边和一角对应相等的两个三角形相似
C.抛物线y = ax²(a ≠ 0)是中心对称图形
D.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

答案： D：当∠A + ∠B = 90°时，sin A = cos B，由于锐角∠A 和∠B 的和不一定是 90°，故 A 是随机事件；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故 B 是随机事件；抛物线 y = ax²（a ≠ 0）是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 是不可能事件；由垂径定理知 D 是必然事件，故选 D。

3.(2024福建中考)如图所示的是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是 ( )

答案： C：这个几何体的俯视图是内部有一个矩形的圆，故选 C。

4.(2024安徽临泉期末)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值，错误的是 ( )

A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{AC}$
D.$\frac{CD}{AC}$

答案： C：因为 AC ⊥ BC，CD ⊥ AB，所以∠α + ∠BCD = ∠ACD + ∠BCD，所以∠α = ∠ACD，所以 cos α = cos ∠ACD = $\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{AC}$，只有选项 C 错误，符合题意，故选 C。

5.(2024安徽肥东期末)如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，则结论中正确的是 ( )

A.AC² + BC² = AB²
B.BC ≈ 0.618AB
C.AC = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$BC
D.BC : AC = AC : AB

答案： D：因为 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC ＞ BC，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，所以 AC² = AB·BC，BC ≈ 0.618AC，AC = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，只有 D 中结论正确，故选 D。

6.(2024安徽蚌埠期末)如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}$OB的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB = 4，则CD的长为 ( )

A.4$\sqrt{3}$
B.4
C.2$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

答案：
C：如图，连接 OC，设 AB 和 CD 交于点 P，由作图可知 CD 垂直平分 OB，因为 AB = 4，所以 OP = $\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}AB = 1$，OC = $\frac{1}{2}AB = 2$，所以 CP = $\sqrt{OC^{2}-OP^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，因为 CD ⊥ OB，所以 CD = 2CP = 2$\sqrt{3}$，故选 C。

7.新独家原创 如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，F是BC的中点，AF的延长线交⊙O于点E，若AE的长是$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，则正方形ABCD的边长是 ( )

A.5
B.4
C.3
D.2

答案： B：连接 CE（图略），因为∠AFB = ∠CFE，∠BAF = ∠ECF，所以△ABF∽△CEF，所以$\frac{AF}{CF}=\frac{BF}{EF}$。设 BF = x，则 CF = x，AB = 2x，所以 AF = $\sqrt{5}x$，EF = $\frac{12\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}x$，所以$\frac{\sqrt{5}x}{x}=\frac{x}{\frac{12\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}x}$，解得 x = 2，所以 AB = 2x = 4，故选 B。

8.一个木模(图①)的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱，它的主视图和俯视图如图②所示，圆柱的底面圆是直棱柱的底面等边三角形的内切圆.若底面等边三角形的边长是2，则主视图中AB的长等于 ( )

A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.1 - $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ - 1

答案：
C：如图，设△EFG 的内切圆的圆心为 O，半径为 r。因为底面等边三角形的边长是 2，所以 EF = 2，连接 GO 并延长交 EF 于 H，易知 GH = $\sqrt{3}$，GH ⊥ EF，OH = r。连接 OE，OF，因为 S△EFG = S△OEG + S△OFG + S△EOF，所以$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\frac{1}{2}×(2 + 2 + 2)·r$，所以 r = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以内切圆的直径 = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以主视图中 AB 的长 = $\frac{1}{2}×(2-\frac{2\sqrt{3}}{3})=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$，故选 C。